Принцип наименьшего действия гамильтона в ютубе. Вариационный принцип гамильтона-остроградского в конфигурационном и фазовом пространствах. Эксперименты поиска электронных оболочек
1. Кинематика материальной точки. Под материальной точкой понимается физический объект, в геометрическом смысле эквивалентный математической точке, но обладающий массой. Кинематика – раздел физики, изучающий виды движения тел без рассмотрения причин возникновения движения. Положение точки в пространстве характеризуется радиусом-вектором. Радиусом-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с точкой начала системы координат, а конец – с рассматриваемой точкой. r = i x + j y + k z. Скорость – расстояние, проходимое телом в единицу времени v (t) = dr /dt. v (t) = i dx/dt + j dy/dt + k dz/dt. Ускорение – скорость изменения скорости. a = dv /dt = d 2 r / dt 2 = i d 2 x/dt 2 + j d 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n = τ dv/dt + n v 2 /R.
dr = v dt; dv = a dt, следовательно v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + a t 2 /2.
2. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Основными понятиями в динамике являются понятие о массе и силе. Сила – это есть причина движения, т.е. под действием силы тела обретают скорости. Сила есть величина векторная. Масса – мера инертности тела. Произведение массы на скорость называется импульсом p = mv . Моментом импульса материальной точки называется вектор L = r * p . Моментом силы, действующей на материальную точку, называется вектор M = r * F . Если продифференцировать выражение для момента импульса, то получим: dL / dt = dr / dt * p + r * dp / dt. Учтя, что dr / dt = v и v параллельно p , получим dL / dt = M . Законы Ньютона. Первый закон Ньютона гласит, что тело, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие силы или их действие скомпенсировано. Второй закон Ньютона гласит, что изменение количества движения по времени, это есть величина постоянная и равна действующей силе dp / dt = d / dt (mv ) = m dv / dt = F .Это и есть второй закон Ньютона, записанный в дифференциальном виде. Третий закон Ньютона говорит о том, что во взаимодействии двух тел каждое из них действует на другое с одинаковой по значению, но противоположной по направлению силой. F 1 = - F 2 .
3. Динамика системы материальных точек. Законы сохранения. Системой материальных точекназывается совокупность конечного их числа. На каждую из точек системы действуют внутренние (со стороны других точек) и внешние силы. Пусть m – масса, r i – радиус вектор. x i , y i , z i – корд. i-ой точки. Импульсом системы материальных точек называется сумма импульсов материальных точек, составляющих систему: p = Σ (i=1,n) p i = [p 1 + p 2 +…+ p n ]. Моментом импульса системы материальных точек называется сумма моментов импульса, составляющих систему материальных точек: L = Σ [L i ] = Σ [r i * p i ]. Сила, действующая на систему материальных точек, определяется как сумма всех сил, действующих на точки системы, включая силы взаимодействия точек системы между собой: F = Σ [F i ], где F i = F i ’ + Σ(j ≠ i) F ji является силой, действующей на материальную точку системы, обозначенную индексом i. Она слагается из внешней силы F i ’ и внутренней силы Σ(i ≠ j) [F ji ], действующей на точку в результате взаимодействия с другими точками системы. Тогда: F = Σ (i=1,n) [F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [F ji ]. Согласно третьему закону Ньютона Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [F ji ] = 0, поэтому F = Σ [F i ’]. Моментом силы, действующей на систему материальных точек, называется сумма моментов сил, приложенных к точкам системы M = Σ (i) [M i ] = Σ (i) [r i * F i ] = Σ (i) [r i * F i ’]. Для системы материальных точек уравнение движения имеет вид dp / dt = Σ = Σ [F i ].
Центр масс системы материальных точек – это воображаемая точка с радиусом-вектором R = 1/m Σ . Скорость его движения V = dR /dt. Тогда уравнение движения m dV /dt = F . Уравнение моментов для системы материальных точек dL /dt = M . Законы сохранения. Изолированная система – та, на которую не действуют внешние силы. В ней F = 0, поэтому dp /dt = 0. Тогда p = const. В изолированной системе момент внешних сил M = 0. Поэтому dL /dt = 0, а значит L = const. Изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении между двумя положениями равно работе, совершенной при этом силой. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F dl или m 0 v 2 /2 + Е п = const.
4. Движение в центрально-симметричном поле. Законы Кеплера. Поле называют центральным, если в нем потенциальная энергия тела зависит только от расстояния r до определенной неподвижной точки. Сила F = - ∂U(r)/ ∂r = - dU/dr r /r действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от r и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора. При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы момент М = [r *р ]. Поскольку векторы М и r взаимно перпендикулярны, постоянство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной к М. Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r, φ, напишем функцию Лагранжа в виде L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Эта функция не содержит в явном виде координату φ. Для такой координаты соответствующий ей обобщенный импульс p i является интегралом движения. В данном случае обобщенный импульс р φ = mr 2 φ(∙) совпадает с моментом М z = М, так что M = mr 2 φ(∙) (1). Заметим, что для плоского движения одной частицы в центральном поле этот закон допускает простую геометрическую интерпретацию. Выражение 1/2 r r d φ представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории. Обозначив ее как df, напишем момент частицы в виде M = 2mf, где производную f называют секториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной скорости - за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (второй закон Кеплера ). Выражая φ(∙) через М из (1) и подставляя в выражение для энергии, получим: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙)/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Отсюда r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) или, разделяя переменные и интегрируя: t = ∫dr/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) + const. Далее, написав (1) в виде dφ = M 2 /mr 2 dt, подставив сюда dt и интегрируя, находим: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + const. Первый закон Кеплера. Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Третий закон Кеплера. Квадраты звездных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .
5. Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа системы материальных точек. Интегралы движения. Рассмотрим замкнутую систему материальных точек. Функция Лагранжа для нее имеет вид L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), где T = Σ (a) – кинетическая энергия, а U – потенциальная энергия взаимодействия частиц. Тогда уравнения движения d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a принимают вид m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Эти уравнения движения называются уравнениями Ньютона. Вектор F a = - ∂U/∂r a называется силой. Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты q i , то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование: x a = f(q 1 , q 2 , .., q s), x a (∙) = Σ(k) [∂f a /∂q k (∙)] и т. д. Подставляя эти выражения в функцию L= 1 / 2 Σ(a) – U, получим искомую функцию Лагранжа вида L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Интегралы движения. Существуют такие функции обобщенных координат, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Они называются интегралами движения. В силу однородности времени dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Заменяя ∂L/∂q i согласно уравнениям Лагранжа на d/dt (∂L/∂q i (∙)), получим dL/dt = Σ(i) или d/dt (Σ(i) - L) = 0. Отсюда видно, что величина Е = Σ(i) – L, называемая энергией, не меняется, т.е. интеграл движения. В связи с однородностью пространства при бесконечно малом переносе ε, когда все точки системы смещаются на ε = δr, изменение функции Лагранжа, равное δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], должно быть равно нулю, т.е. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Используя уравнения Лагранжа, получаем Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Тогда величина Р = Σ(a)[ ∂L/∂v a ], называемая импульсом, остается неизменной, т.е. интеграл движения. В связи с изотропностью пространства при бесконечно малом повороте на угол δφ изменение функции Лагранжа, равное δL = Σ(a) [∂L/∂r a δr а + ∂L/∂v a δv а ] должно быть равно нулю. Произведя замену ∂L/∂v a = p a и ∂L/∂r a = p a (∙) ввиду произвольности δφ получим d/dt Σ(a) [r a p a ] = 0. Величина М = Σ(a) [r a p a ], называемая моментом импульса остается постоянной, т.е. интеграл движения.
6. Динамика абсолютно твердого тела. Тензор инерции. Уравнения Эйлера. Твердое тело – система материальных точек, расстояние между которыми остается постоянным. Для полного описания движения твердого тела необходимо кроме движения одной из его точек знать движение тела около этой точки как точки закрепления. Пусть тело закреплено в точке О. Радиус-вектор точки m i относительно О обозначим r i , w – мгновенная угловая скорость тела, тогда момент импульса L = Σ [r i * m i v i ] = Σ = w Σ – Σ . Это векторное равенство можно записать в виде трех проекций на оси координат L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Учитывая, что (w r i) = x i w x + y i w y + z i w z получим L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z , где J xx = Σ , J xy = Σ , другие аналогично. Величины J xx , J yy , J zz называются осевыми моментами инерции, а J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy – центробежными моментами инерции. Совокупность величин J ij называется тензором инерции. Элементы J ii называются диагональными. Если все недиагональные элементы равны нулю, то говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции, а величины J ii называют главными моментами инерции. Такой тензор приведен к диагональному виду.
Уравнения Эйлера. Уравнение движения центра масс тела имеет вид m dv 0 /dt = m d/dt (w * r 0) = F , где r 0 – радиус-вектор центра масс тела, проведенный из точки его закрепления. Оси связанной с телом системы координат удобно направить по главным осям инерции. В этом случае момент импульса приобретает простой вид L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 , причем w i – проекции угловой скорости на движущиеся вместе с телом оси координат. Воспользовавшись общей формулой dA /dt = ∂A /∂t + w * A , можно представить уравнение моментов следующим образом ∂L /∂t + w * L = M . Принимая во внимание, что L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , это уравнение перепишем в проекциях на оси движущейся системы координат: J x dw x /dt + (J z - J y)w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Эти уравнения называются уравнениями Эйлера.
7.
Движение
относительно неинерциальных систем
отсчета.
НИСО-это
система, в кот. тело движется с ускорением
отн-но покоящ. системы коорд. Здесь
понятия однородности и изотропности
пространства и времени не выполняются,
т.к. длительность и протяженность в НИСО
меняются. Кроме того, теряется содержание
3 го з-на Ньютона и з-ов сохранения.
Причиной всему служат силы инерции,
связанные только с системой координат,
кот. действуют на движение тела. Т.О.
ускорение можно изменять при помощи
внешней силы, либо силой инерции. F=∑Fi=ma
(ИСО), F=F(внеш.)+Fi=ma′(НИСО),
где Fi-сила
инерции, a-ускор.
тела в ИСО, a′-ускор.
того же тела в НИСО. В НИСО 1-й з-н Ньютона
не выполняется! Fi=-m(a′-a),
т.е. силы инерции не подчиняются 3му з-ну
Ньютона, т.к. они кратковремены. При
переходе от ИСО к НИСО силы инерции
исчезают. Инерц. силы всегда направлены
против век. внешних сил. Силы инерции
сожно складывать векторно. В ИСО:
v=const,
v< dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t)
dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/dt′+dv(t)/dt′=a x ’
+ a 0
= a x .
В НИСО вводятся понятия абсолютной,
относительной и переносной скоростей:
u 0 -абсолютная
скорость, a 0 -
ускорение относит. покоящ. системы
коорд. u x 0
= v
+ u x 0 ’;
a x 0
= a’
+ a x ;
u x ’
a x
- скорость
и ускорение относит. движ. системы коорд.
(относительные) ; v,
a′-скор.
и ускорен. к′ относит. к, т.е. переносные
скорость и ускорение Существует
-функция
обобщенной координаты, скорости, времени.
Рассмотрим пространство 2S
мерное, тогда положение системы S
= ∫(t 1 ,
t 2)
L(g,
g( ),
t)dt,
L-
функция Лагранжа; S-
действие. Ф-ей действия наз-ся итнеграл
S=∫
Ldt=0,
при кот. взятая вдоль истинной траектории
движения система будет иметь минимальное
значение, т.е. S=Smin,
δS=0.
Т.е. система из 1 в 2 движется по такой
траектории, чтобы её действие было
минимально- принцип наименьшего действия
Гамильтона. L
= T
– U
-разность кинетической и потенциальной
энергий системы. Согласно Гамильтону
действительная траектория отвечает
минимальному действию. Найдем траекторию.
Действительная траектория- минимальная
траектория. S-функционал.
Найдем её min.
δS
= 0 первая вариация. δS
= ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i
δg i ]
+ Σ[∂L/∂g i ( )
δg i ( )])dt;
∫(t 1 ,t 2)
∂L/∂g i ( )
δg i ( )
dt
= ∫(t 1 ,t 2)
∂L/∂g i ( )
dδg i
= ∂L/∂g i ( )δg i
(t 1 ,t 2)
- ∫(t 1 ,t 2)
δg i
d/dt
(∂L/∂g i ( ))
dt; δg i
не зависят друг от друга
9.
Колебания
систем с одной и многими степенями
свободы. Свободные и вынужденные
колебания
.
Наиболее
простой случай, когда система имеет
одну степень свободы. Устойчивому
равновесию соответствует такое положение
сис., в кот. ее потенц. эн. U(q)
имеет минимум. Отклонение от такого
положения приводит к возникновению
силы - dU/dq,
стремящейся вернуть систему обратно.
q 0 - обобщенная
координата. Разложим U(q)
- U(q0)
по степеням и получим U(q)
- U(q0)
≈ k/2
(q
- q 0) 2
где к =U’’(q 0)
- положительный коэффициент. U(q 0)
= 0, обозначим х = q
- q 0
- отклонение координаты от равновесного
значения, тогда U(x)
= kx 2 /2
– потенц.энергия. 1/2a(q)
q’ 2 =1/2a(q)x’ 2 -кинет.энергия
при q
= q0
и a(q0)
= m
получим
функцию Лагранжа для системы совершающей
одномерные колебания: L
= mx 2 (∙)/2
– kx 2 /2.
Соответствующее этой функции уравнение
движения будет: mx(∙∙)
+ kx
= 0 или x(∙∙)
+ w 2 x
= 0, где w
= √(k/m)
-циклическая частота колебаний. Решением
этих ур-й яв-ся х = a
cos(wt
+ α) где а-амплитуда колебаний, wt
+ α - фаза колебаний. т.о. энергия системы
совершающей колебания будет E
= mx 2 (∙)/2
+ kx 2 /2.
Вынужденные
колебания.
В
этом случае наряду с собственной
потенциальной энергией ½ кх 2
система обладает еще потенциальной
энергией U e (х,т)
связанной с действием внешнего поля.
Соответственно функция Лагранжа такой
системы будет: L
= mx 2 (∙)/2
+ kx 2 /2
+ x
F(t),
где F(t)-внешняя
сила. Соответствующее
ур-ние движения будет mx(∙∙)
+ kx
= F(t),
или x(∙∙)
+ w 2 x
= F(t)/m.
Если F(t)
яв-ся простой периодической функцией
времени с некоторой частотой γ: F(t)
= f
cos(γt
+ β) то решением уравнений движения
будет: X
= a
cos(wt
+ α) + f
cos(γt
+ β)/(m(w 2
– γ 2))
a
и α
определяются из начальных условий. Т.о.
под действием вынуждающей силы система
совершает движение представляющее
совокупность двух колебаний - с собственной
частотой системы w
и с частотой вынуждающей силы - γ.
Колебания
систем со многими степенями свободы
.
Потенц. эн.
системы U(q i)
имеет минимум при q i =q i 0 .
Вводя малые смещения x i
= q i
- q i 0
и разлагая по ним U
с точностью до членов 2-го порядка
получим потенц. энергию: U
= 1/2 Σ(i,k)
,
к ik =k ki .
Кинет. эн. для такой системы будет 1/2
Σ(i,k)
,
где m ik =m ki .
Уравнение Лагранжа для такой системы
будет: L
= 1/2 Σ(i,k)
.
Тогда dL
= Σ(i,k)
.
Ищем x k (t)
в виде x k
= A k exp(-iwt),
А к -
постоянная. Подставляя это в уравнение
Лагранжа, получим систему линейных
однородных уравнений. Σ(k)
[(-w 2 m ik +k ik)A k ]
= 0 - характеристическое уравнение, оно
имеет s
различных корней w 2 α
(α=1,2,….,s)
w α -
собственные частоты системы. Частное
решение системы имеет вид: x k
= ∆ kα
C α
exp(-iw α t).
Общее решение является суммой всех
частных решений: x k
= Σ(α) [∆ kα
Q α ],
где Q
= Re
(C α
exp(-iw α t)). 10.
Каноническое
уравнение Гамильтона.
Ряд
преимуществ при исследовании вопросов
механики представляет описание с помощью
обобщенных координат и импульсов переход
от одного набора независимых переменных
к другому можно совершить путем
преобразования Лежандра. В данном случае
оно сводится к следующему. Полный
дифференциал функций Лагранжа как
функция координат и скоростей равен:
dL
= Σ(i)
[∂L/∂q i ]
+ Σ(i)
[[∂L/∂q i (∙)].
Это выражение можно написать в виде dL
= Σ(i)
+ Σ(i)
.
Перепишем его в виде: d(Σ(i)
– L)
= - Σ(i)
+ Σ(i)
.
Величина, стоящая под знаком дифференциала,
представляет собой энергию системы
выраженную через координаты и импульсы
и она наз-ся гамильтоновой функцией:
H(p,q,t)
= Σ(i)
– L.
Из диф. равенства dH
= - Σ(i)
+ Σ(i)
следуют уравнения: q i (∙)
= ∂H/∂p i ,
p i (∙)
= - ∂H/∂q i
– это уравнения Гамильтона. В виду их
простоты и симметрии они еще наз.
каноническими. Скобки
Пуассона.
Производная
по времени от любой функции F
обобщенных координат, импульсов и
времени будет dF/dt
= ∂F/∂t
+ Σ(i)
[∂F/∂q i
dq i /dt]
+ Σ(i)
[∂F/∂p i
dp i /dt].
Пользуясь уравнениями Гамильтона мы
можем переписать это уравнение в
следующем виде: dF/dt
= ∂F/∂t
+ ,
где
= Σ(i)
[∂F/∂q i
∂H/∂p i
- ∂H/∂q i
∂F/∂p i ]
- наз. скобкой Пуассона. Очевидно, что
уравнение Гамильтона могут быть записаны
с помощью скобок Пуассона. 11.
Уравнение
Гамильтона–Якоби
.
По принципу
наименьшего действия имеем S
= ∫(t 1 ,t 2)Ldt.
Рассмотрим действие (S)
как величину, характеризующую движение
по истинным траекториям. Исходя из ур-й
Лагранжа для изменения действия при
переходе от одной траектории к близкой
к ней другой траектории (при одной
степени свободы) получим: δS
= pδq
или для любого числа степеней свободы:
δS
= Σ(i)
.
Отсюда следует, что частные производные
от действия по координатам равны
соответствующим импульсам: ∂S/∂q i
= p i (1).
По определению dS/dt
= L
с другой стороны рассматривая S
как функцию координат и времени и
используя формулу (1) имеем: dS/dt
= ∂S/∂t
+ Σ(i)
[∂S/∂q i
q i (∙)]
= ∂S/∂t
+ Σ(i)
.
Сравнивая оба выражения, получим ∂S/∂t
= L
- Σ(i)
или ∂S/∂t
= - H(p,q,t)
(2). Формулы (1), (2) можно вместе записать
в виде dS
= Σ(i)
– Hdt.
А само действие (S)
будет S
= ∫ (Σ(i)
– Hdt).
При H
независимом от t
– S(q,t)=S 0 (q)
- Et,
где S 0 (q)
= Σ(i)
[∫p i dq i ]
- укороченное действие и Еt
заменено H(p,q).
Функция S(q,t)
удовлетворяет определенному диф.
уравнению, которое мы получим, заменив
в соотношении (2) импульсы Р производными
∂S/∂q: ∂S/∂t
+ H(∂S/∂q 1 ,…,
∂S/∂q s ;q 1 ,…,q s ,t)
= 0 - это уравнение в частных производных
1-го порядка наз. уравнением Гамильтона-Якоби.
Так, для одной частицы во внешнем поле
U(x,y,z,t)
оно имеет вид: ∂S/∂t
+ 1/(2m)((∂S/∂x) 2
+ (∂S/∂y) 2
+ (∂S/∂z) 2)
+ U(x,y,z,t)
= 0. 12.
Деформации
и напряжения в твердых телах. Модули
Юнга, сдвига. Коэффициент Пуассона
.
Деформация
– изменение формы и объема тела под
действием внешних сил. Под действием
внешней силы форма тела меняется. Все
деформации в природе могут быть сведены
к 3 м
основным деформациям: 1) растяжение,
сжатие; 2) сдвига; 3) кручение. Различают
однородные и неоднородные деформации.
Если все части деформируются одинаково,
то это однороднодеформированные.
Если все
части тела деформируются неодинаково,
то это неоднороднодеформированные.
Закон Гука
выполняется в области только упругой
деформации.
= E’.
F/S
= E
∆l/l 0 ;
F упр
= ES∆l/l 0
= kx;
k
= ES/l 0 ;
F упр
= ESx/l 0 .
Закон Гука определяет связь между
и .
к-коэффициент упругости, он зависит от
геометрических размеров, материала, из
чего сделано тело. Е- модуль Юнга. Модуль
Юнга равен силе, которую необходимо
приложить к телу единичного поперечного
сечения, чтобы его тела увеличилась в
2 раза. Другим видом деформирования
является деформация сдвига, она
наблюдается при касательном приложении
поверхности; она параллельна поверхности
деформации сдвига, наблюдается при
действии тангенциальных сил, т.е., силы
приложены касательно. Ψ~F t /S
(угол сдвига). Ψ = nF t /S;
n-
коэффициент сдвига. F t =
nS.
(Е> N,
E~
4N). 13.
Механика
жидкостей и газов.
Для всех жидкостей и газов объединяющим
параметром является: плотность ρ,
давление P=F n /S.
В жидкостих и газах имеет место модуль
Юнга, но не имеет место модуль сдвига
|σ|=|P|,
σ - напряжение. Если жидкость (газ)
неподвижны то имеем дело с гидростатикой
(аэростатикой). Характерные законы: З-н
Паскаля: избыточное давление, создаваемое
в газах и жидкостях передается во все
стороны одинаково. З-н Архимеда справедлив
и для жидкостей и для газов. Сила Архимеда
всегда действует против силы тяжести.
Причиной возникновения силы Архимеда
является наличие у тела объема V.
З-н Архимеда: На тело находящееся в
жидкости или газе всегда действует сила
равная весу жидкости или газа, вытесненного
погруженной частью тела, и направленная
вертикально вверх. Если F A >F ТЯЖ,
то тело всплывает, если наоборот, то –
тонет. Если жидкость (газ) текут, то к
этим уравнениям присоединяются уравнение
непрерывности струи. Траекторию движения
частицы в жидкости наз. линией тока.
Часть пространства ограниченная линией
тока наз. трубкой тока. Жидкость в трубке
тока может течь стационарно или не
стационарно. Течение наз. стац. если
через данное сечение трубки тока за ед.
времени проходит одинаковое кол-во
жидкости (газа), иначе, течение нестац.
Пусть мы имеем трубку тока следующего
вида: Если течение жидкости стац. То
m 1 =m 2 =…=m n за единицу
времени, если жидкость несжимаема, то
ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…;
=ρ n V n ,
ρ 1 Δx 1 =
ρ 2 Δx 2 =…;
= ρ n Δx n ,
ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…=
ρ n υ n ΔtS n ,
т. К. жидкость несжимаема ρ постоянно
υ 1 S 1 =υ 2 S 2 =…=
υ n S n ,
υS=const;
υ=const/S
– уравнение неразрывности струи. ρ
dv
/dt
= ρg
– grad
P
– уравн. Эйлера – 2-й зак. Ньютона для
жидкостей и газов. Закон сохр. Энергии
в жидкостях и газах. Ур. Бернулли. Ид.
Наз. Несжимаемая жидкость, в которой
можно пренебречь силами вязкого трения.
Кинетическая энергия не тратится на
совершение работы против сил трения.
Ρυ 2 /2+ρgh
+ P
= const
– ур. Бернулли, ρυ 2 /2
– динамическое давление, ρgh
– гидростат. Давл., P
– молекулярное давление. Mυ 2 /2
= E K ;
mυ 2 /2V=
E K /V=
ρυ 2 /2.
Сила вязкого трения F A =
- ηΔυΔS/ΔZ
6 π r
η υ – сила Стокса. Η - коэф. вязкости,
Δυ/ΔZ
– grad
υ, r
– размеры тела. Это есть формула Ньютона
для сил вязкого трения. Если в жидкости
имеются силы трения, то ид. Жидкость
стан-ся вязкой. ρ v 1 2 /2
+ ρgh 1
+ P 1
= ρ v 2 2 /2
+ ρgh 2
+ P 2 ;
(P 1
– P 2)=
ρ(υ 2 2
– υ 1 2)/2.
Если ΔP
= 0, то υ 2 2
– υ 1 2
= 0, и течения жидкости не будет. Где P
больше, там скор. Течения меньше. Если
сечение S
растет, то растет P
и падает υ. Если трубка тока не лежит
горизонтально, то υ 2 2 -υ 1 2
=2g
(h 1 -h 2);
υ = sqrt(2g
(h 1 -h 2))
– формула Торричелли. В настоящее время стал одним из основополагающих принципов механики. Для голономных механических систем он может быть непосредственно получен как следствие принципа Даламбера - Лагранжа. В свою очередь, все свойства движения голономных механических систем могут быть получены из принципа Гамильтона - Остроградского. Рассмотрим движение системы материальных точек относительно некоторой инерциальной системы отсчета под действием активных сил Пусть возможные перемещения точек системы стеснены идеальными голономными связями. Обозначим декартовы координаты точки через а независимые лагранжевы координаты через Зависимость между декартовыми и лагранжевыми координатами задается соотношениями В дальнейшем будем предполагать, что координаты представляются однозначными, непрерывными и сколь угодно раз дифференцируемыми функциями переменных Кроме того, будем предполагать, что из каждого положения системы параметры могут изменяться как в положительном, так и в отрицательном направлении. Движение системы будем рассматривать начиная с некоторого момента времени до момента Пусть начальному положению системы отвечают значения лагранжевых координат а положению системы в момент - значения Введем в рассмотрение -мерное расширенное пространство координат и времени в котором каждому конкретному положению системы отвечает одна точка. В таком расширенном -мерном пространстве движение системы представляется некоторой кривой, которую в дальнейшем будем называть траекторией системы. Начальному и конечному положениям системы здесь будут соответствовать две точки . В действительном движении системы из положения в положение лагранжевы координаты непрерывно изменяются, определяя в -мерном пространстве кривую, которую будем называть действительнойтраекторией системы. Можно заставить перемещаться систему в соответствии с наложенными на систему связями из положения в положение за тот же интервал времени, но по другой траектории, близкой к действительной, не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения движения. Такую траекторию в -мерном пространстве назовем окольной траекторией. Сравнивая движения по действительной и окольным траекториям, зададимся целью определить действительную траекторию среди окольных. Пусть положение системы в момент на действительной траектории отмечается точкой Р, а положение системы в тот же момент времени на окольной траектории - точкой Р (рис. 252). Отрезок соединяющий две точки на различных траекториях в один и тот же момент времени, будет представлять возможное перемещение системы в момент Он соответствует изменению лагранжевых координат в момент при переходе из положения Р в положение Р на величину Возможному перемещению системы будут отвечать вариации декартовых координат которые могут быть выражены через вариации координат Лагранжа в виде равенств Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство «траекторий» каждая из которых соединяет точки проходя через них в моменты времени соответственно, и пусть значению параметра отвечает действительная траектория (прямой путь), которую проходит система за время из положения в положение Значениям а, отличным от нуля, отвечают «окольные» траектории (окольные пути), т. е. все остальные траектории, соединяющие точки за время Перемещению системы вдоль какой-либо траектории будет соответствовать изменение лагранжевых координат за счет изменения времени когда параметр а остается неизменным. Параметр а будет меняться лишь при переходе с одной траектории на другую. Вариация координаты будет теперь определяться следующим образом: а производная по времени от координаты будет иметь вид Пусть лагранжевы координаты являются однозначными непрерывными дифференцируемыми функциями от . Тогда Полученные соотношения в механике называются «перестановочными». Операции дифференцирования перестановочны только тогда, когда все координаты независимы и не связаны неинтегрируемыми соотношениями. Покажем, что перестановочность операций варьирования и дифференцирования выполняется и для декартовых координат. Пусть Рассмотрим производную по времени от С другой стороны, Вычитая второе равенство из первого, получим откуда следует т. e. операции дифференцирования и варьирования перестановочны и для декартовых координат, если на систему материальных точек наложены только голономные идеальные связи. Перейдем к определению действительной траектории среди всех окольных. Действительное движение системы происходит в соответствии с принципом Даламбера - Лагранжа который определяет «тенденцию» истинного движения (действительного движения) в каждый момент времени. Рассмотрим интеграл взятый вдоль действительной траектории системы. Все сравниваемые траектории системы начинаются в один и тот же момент времени и из одной и той же точки -мерного пространства. Все они оканчиваются в одной и той же точке в один и тот же момент времени. Поэтому на концах траекторий при будут выполняться условия Преобразуем полученное уравнение, проинтегрировав по частям выражение а так как на концах траектории вариации обращаются в нуль, будем иметь В силу перестановочности операций дифференцирования и варьирования, имеем после чего уравнение принимает вид В таком виде полученное уравнение выражает «принцип наименьшего действия» Гамильтона для общих механических систем. На действительной траектории системы обращается в нуль интеграл от функции Если силы, действующие на систему, обладают силовой функцией , то имеет место соотношение а выведенное выше уравнение принимает вид Так как варьирование не связано с изменением времени, то операции варьирования и интегрирования можно поменять местами: т. e. интеграл на действительной траектории имеет стационарное значение. Мы показали необходимость стационарного значения интеграла на действительной траектории. Покажем, что обращение вариации интеграла в нуль является достаточным условием действительного движения системы. Для этого достаточно из принципа Гамильтона получить уравнения движения системы. Рассмотрим механическую систему с голономными идеальными связями, положение которой определяется лагранжевыми координатами а живая сила зависит от обобщенных скоростей, координат и времени. Принимая во внимание известное соотношение перепишем принцип Гамильтона в виде Выполняя варьирование живой силы и интегрируя затем по частям так как на концах интервала вариации координат равны нулю, из принципа Гамильтона получим Вариации произвольны и независимы внутри интервала а тогда в силу основной леммы вариационного исчисления равенство будет возможно только тогда, когда все коэффициенты при обращаются в нуль, т. е. когда выполняются условия Полученные уравнения должны выполняться в действительном движении механической системы. Достаточность принципа Гамильтона доказывается тем, что эти уравнения являются уравнениями Лагранжа второго рода, описывающими движение механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи. Принцип Гамильтона для механических систем с голономными идеальными связями можно теперь сформулировать следующим образом: Действительное движение системы с голономными идеальными связями между двумя заданными положениями отличается от кинематически возможных между этими положениями движений, совершаемых за тот же промежуток времени, тем, что на действительном движении обращается в нуль интеграл для всех значений удовлетворяющих указанным условиям. Использование принципа Даламбера позволяет не учитывать силы реакции связей и дает возможность применять произвольные обобщенные координаты. Однако, получение уравнений в обобщенных координатах может представлять трудности из-за наличия в принципе Даламбера (2.13) скалярных произведений. С помощью преобразований координат уравнения (2.13) можно преобразовать к виду, содержащему только скалярные функции обобщенных координат. Мы укажем другой путь, когда вначале от принципа Даламбера переходят к интегральному вариационному принципу. Получение уравнений механики из вариационного принципа позволило получить много важных результатов. В дальнейшем вариационные принципы стали использовать и в других областях теоретической физики. Рассмотрим случай, когда силы имеют потенциал. Тогда виртуальная работа сил запишется в форме В общем случае потенциальная энергия может зависеть от времени. Поскольку вариация вычисляется при фиксированном , это никак не сказывается на выводах. При использовании обобщенных координат потенциальная энергия в конечном счете является функцией обобщенных координат. Тогда вариация потенциальной энергии будет иметь вид По аналогии с выражениями (1.12) частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам называют Обобщенными силами:
Для того чтобы преобразовать слагаемые с ускорениями к вариации от скалярной функции, предварительно проинтегрируем уравнение Будем считать, что начальное в момент времени И конечное в момент времени положения системы материальных точек заданы. Поэтому для этих моментов времени равно нулю, и первое слагаемое в (2.18) обращается в нуль. Так как вариации координат рассматриваются для фиксированных моментов времени, то производную по времени и варьирование можно переставить местами. Второе слагаемое в (2.18) преобразуется к виду Такие же преобразования можно произвести для всех координат всех материальных точек. Учтем еще выражение (2.14) виртуальной работы через потенциальную функцию. В результате для интеграла (2.17) получим . (2.20) Разность кинетической и потенциальной энергии, которая входит в последний из интегралов в формуле (2.20), называется Функцией Лагранжа
и обозначается буквой .
Функция Лагранжа зависит от координат и скоростей материальных точек. При переходе к обобщенным координатам она выражается через обобщенные координаты и обобщенные скорости: Время может и не входить в функцию Лагранжа. Интеграл из (2.20) обозначается буквой и называется Действием;
После введения этих обозначений условие (2.20) принимает вид . (2.23) Вариация действия равна нулю. Это означает, что действие имеет экстремум, принимает наибольшее или наименьшее значение, если в интеграл (2.22) в качестве зависимости подставить функции, описывающие движение механической системы. Поэтому условие экстремума действия можно использовать для отыскания закона движения системы материальных точек. Теперь можно сформулировать Интегральный принцип,
называемый Принципом Гамильтона: Движение механической системы за конечный промежуток времени от
До
Происходит таким образом, что действие имеет при этом экстремум.
Для консервативных систем принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона. Поэтому он может считаться основным принципом механики, из которого выводятся все уравнения механики.. Это - вариационный принцип, так как зависимость обобщенных координат от времени находится из условия минимума интеграла действия. Одним из преимуществ применения принципа Гамильтона является то, что в него входят только скалярные функции, которые можно пересчитать к произвольным обобщенным координатам. Поэтому уравнения, которые вытекают из вариационного принципа, оказываются сразу записанными в обобщенных координатах. Получение уравнений механики из вариационного принципа так же позволило решить ряд фундаментальных вопросов классической механики. ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО ПРИНЦИП
Стационарного действия принцип,- общий интегральный вариационный принцип классической механики,
установленный У. Гамильтоном для голономных систем, стесненных идеальными стационарными связями, и обобщенный М. В. Остроградским на нестационарные , связи. Согласно Г. - О. имеет стационарное значение по сравнению с близкими кинематически-возможными движениями, для которых начальное и конечное положения системы и время движения одинаковы с таковыми для действительного движения. Здесь Т -
кинетическая, U -
потенциальная энергии, L-T - U
функция Лагранжа системы. В нек-рых случаях истинное соответствует не только стационарной точке функционала S,
но и доставляет ему наименьшее значение. Поэтому Г. -О. п. часто наз. принципом наименьшего действия. В случае непотенциальных активных сил F v
условие стационарности действия dS=
0 заменяется условием Лит.
: Hamilton W., Report of the Fourth Meeting of the British Association for the Advancement of Science, L., 1835, p. 513-18; Оstrоgradskу M., "Mem. de 1"Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, № 3, p. 33-48. В. В. Румянцев.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия
.
И. М. Виноградов
.
1977-1985
.
Принцип Фишера эволюционная модель, которая объясняет, почему преобладающим в природе является соотношение полов разновидностей живых организмов, примерно 1:1; при котором гены для производства большего числа особей обоего пола… … Википедия
Гамильтона (также просто принцип Гамильтона), точнее принцип стационарности действия способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного (часто экстремального, обычно, в связи со сложившейся традицией… … Википедия
Рефракция волн по Гюйгенсу … Википедия
В методологии науки утверждение, что любая новая научная теория при наличии старой, хорошо проверенной теории находится с ней не в полном противоречии, а даёт те же следствия в некотором предельном приближении (частном случае). Например, закон… … Википедия
Дискретный принцип максимума Понтрягина для дискретных по времени процессов управления. Для такого процесса М. п. может не выполняться, хотя для его непрерывного аналога, получающегося заменой конечно разностного оператора на дифференциальный… … Математическая энциклопедия
Или начало Гамильтона, в механике и математической физике служит для получения дифференциальных уравнений движения. Этот принцип распространяется на всякие материальные системы, каким бы силам они ни были подвержены; сначала мы выскажем его в том … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Постулат квант. механики, требующий совпадения её физ. следствий в предельном случае больших квантовых чисел с результатами классич. теории. В С. п. проявляется тот факт, что квант. эффекты существенны лишь при рассмотрении микрообъектов, когда… … Физическая энциклопедия
вариационный принцип Гамильтона
- Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton variation principle vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. вариационный принцип Гамильтона, m pranc. principe variationnel d’Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas
Постулат квантовой механики (См. Квантовая механика), требующий совпадений её физических следствий в предельном случае больших квантовых чисел (См. Квантовые числа) с результатами классической теории. В С. п. проявляется тот факт, что… … Большая советская энциклопедия
- (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… … Физическая энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Действие (физика). Действие Размерность L2MT−1 Действие в физике скалярная физическая величина, являющаяс … Википедия
Ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые с его помощью уравнения движения имеют название уравнений Эйлера - Лагранжа . Первую формулировку принципа дал П. Мопертюи (P. Maupertuis) в году, сразу же указав на его универсальную природу, считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света. Мопертюи пришёл к этому принципу из ощущения, что совершенство Вселенной требует определенной экономии в природе и противоречит любым бесполезным расходам энергии. Естественное движение должно быть таким, чтобы сделать некоторую величину минимальной. Нужно было только найти эту величину, что он и продолжал делать. Она являлась произведением продолжительности (время) движения в пределах системы на удвоенную величину, которую мы теперь называем кинетической энергией системы. Эйлер (в «Réflexions sur quelques loix générales de la nature»
, 1748) принимает принцип наименьшего количества действия, называя действие «усилием». Его выражение в статике соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией , так что его утверждение наименьшего действия в статике эквивалентно условию минимума потенциальной энергии для конфигурации равновесия. Принцип наименьшего действия служит фундаментальной и стандартной основой лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики. Вначале рассмотрим построение таким образом лагранжевой механики
. На примере физической системы с одной степенью свободы , напомним, что действие - это функционал относительно (обобщенных) координат (в случае одной степени свободы - одной координаты ), то есть выражается через так, что каждому мыслимому варианту функции сопоставляется некоторое число - действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции вычислить вполне определенной число - также называемое действием). Действие имеет вид: где есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты , её первой производной по времени , а также, возможно, и явным образом от времени . Если система имеет большее число степеней свободы , то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела. То, что действие является скаляром, позволяет легко записать его в любых обобщенных координатах, главное только, чтобы положение (конфигурация) системы однозначно ими характеризовалось (например, вместо декартовых это могут быть полярные координаты, расстояния между точками системы, углы или их функции и т. д.). Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории , какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело: Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения - уравнения Эйлера - Лагранжа , а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определенной задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений. где - функция Гамильтона данной системы; - (обобщенные) координаты, - сопряженные им (обобщенные) импульсы, характеризующие вместе в каждый данный момент времени динамическое состояние системы и, являясь каждое функцией времени, характеризуя, таким образом, эволюцию (движение) системы. В этом случае для получения уравнений движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона надо проварьировать записанное так действие независимо по всем и . Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не
означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей - магнитных зарядов - в электромагнитном поле . Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа. Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная частица (масса m
и скорость v
) в Евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии в ортогональной системе координат . В полярных координатах кинетическая энергия, и следовательно, функция Лагранжа становится Радиальная и угловая компонента уравнений становятся, соответственно: Решение этих двух уравнений Здесь - это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а - постоянная Планка . Подчеркнём, что в принципе действие в экспоненте появляется (или может появляться) само, при изучении оператора эволюции в квантовой механике, однако для систем, имеющих точный классический (неквантовый) аналог, оно в точности равно обычному классическому действию. Математический анализ этого выражения в классическом пределе - при достаточно больших , то есть при очень быстрых осцилляциях мнимой экспоненты - показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий в этом интеграле взаимосокращаются при этом в пределе (формально при ). Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем - минимуму). Это - чисто математический факт из теории функций комплексного переменного ; на нём, например, основан метод стационарной фазы . В результате частица в полном согласии с законами квантовой механики движется одновременно по всем траекториям, но в обычных условиях в наблюдаемые значения дают вклад только траектории, близкие к стационарным (то есть классическим). Поскольку квантовая механика переходит в классическую в пределе больших энергий, то можно считать, что это - квантовомеханический вывод классического принципа стационарности действия
. В квантовой теории поля принцип стационарности действия также успешно применяется. В лагранжеву плотность здесь входят операторы соответствующих квантовых полей. Хотя правильнее тут в сущности (за исключением классического предела и отчасти квазиклассики) говорить не о принципе стационарности действия, а о фейнмановском интегрировании по траекториям в конфигурационном или фазовом пространстве этих полей - с использованием упомянутой только что лагранжевой плотности. Более широко, под действием понимают функционал, задающий отображение из конфигурационного пространства на множество вещественных чисел и, в общем, он не обязан быть интегралом, потому что нелокальные действия в принципе возможны, по крайней мере, теоретически. Более того, конфигурационное пространство не обязательно является функциональным пространством, потому что может иметь некоммутативную геометрию.8. Вариационный принцип Гамильтона. (принцип наименьшего действия).
;
=0
на действительной траектории должно
выполняться уравнение:
- уравнение Лагранжа (для любыхi=
1,…S).
Количественная
связь между Е и N
задается через коэффициент Пуассона.
N
= E/(2(1+μ)),
где
- коэффициент Пуассона. μ
= |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |.
Коэффициент Пуассона определяет
изменением поперечных размеров при
растяжении или сжатии.
0,5.1. Принцип Гамильтона-Остроградского
(2.14)
(2.15)
(2.9) по времени: 
. (2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.22)
Смотреть что такое "ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО ПРИНЦИП" в других словарях:
Книги
История
В классической механике
Примеры
В квантовой теории поля
Дальнейшие обобщения
