Непрерывность множества действительных чисел. Аксиомы действительных чисел Свойство полноты множества вещественных чисел

§ 7 . Фундамент анализа, 4

Полнота множества действительных чисел.

7.1. Вступление.

Определение. Действительным числом a назовем класс эквивалентности a фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Определение. Множество R классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел будем называть множеством действительных чисел.

1) lim a n = a Û " 0 < eÎR $ pÎN (" nÎN , n ³ p) Þ |a n - a| £ e

2) всякая последовательность (a n), которая является сходящейся, является также фундаментальной

" 0 < eÎR $ pÎN ((" mÎN , " nÎN , m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ e)

Естественно попытаться по аналогии с §6 применить процедуру факторизации к множеству фундаментальных последовательностей действительных чисел. Не получим ли мы множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей действительных чисел, содержащее множество R в качестве собственного подмножества?

Оказывается, нет.

В этом § будет установлено замечательное свойство: свойство полноты множества действительных чисел, заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в R .

7.2. Приближение действительных чисел десятичными дробями.

Определение. Последовательность (q n) ограничена, если $ 0 < MÎQ , что (" nÎN |q n | £ M)

Теорема 1 . Каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел ограничена.

Доказательство . Пусть (q n) - фундаментальная последовательность рациональных чисел, тогда, в силу фундаментальности, для e=1 найдется такое pÎN , что:

$ pÎN: ((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -фиксируем, тогда " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

В самом деле: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |q p | Þ |q n | £ 1 + |q p |.

Полагая в качестве M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) получим: " nÎN |q n | £ M.ð

В п.6.3. на множестве было задано унарное отношение “быть положительным“. Условимся писать “>0“. Тогда a ³ 0 Û (a > 0 или a = 0).

Теорема 2 . Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a, тогда:

а) ($ p 1 ÎN , $ MÎQ (" nÎN , " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

б) ($ p 2 ÎN , $ mÎQ (" nÎN , " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Доказательство. Поскольку " n³p 1 q n -M £ 0, то фундаментальная последовательность q n -M - разность фундаментальной последовательности (q n) и постоянной последовательности M не может быть положительной последовательностью, т.к. она либо нулевая, либо отрицательная.

Поэтому действительное число (a-M), представленное этой последовательностью, не может быть положительным, т.е. a-M £ 0, т.е. a£M.

Аналогично, рассматривается б).

Теорема 3 . Фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a тогда и только тогда, когда " 0R $pÎN , что "nÎN и n³p будет выполняться неравенство |q n -a| £ e:

(q n)Îa Û " 0 < eÎR $ pÎN (" nÎN , n³p) Þ |q n -a| £ e.

Доказательство. Докажем лишь необходимость. Очевидно, что " eÎR $ e 1 ÎQ (e 1 £e)

Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел является представителем числа a.

По условию она фундаментальна, т.е. " 0 < eÎQ $ pÎN (" nÎN, " mÎN , n³p, m³p) Þ |q n -q n | £ e/2.

Зафиксируем n³p, тогда получим фундаментальную последовательность (q m -q n): (q 1 -q n ; q 2 -q n ; … ; q n-1 -q n ; 0; q n+1 -q n ; …).

Все члены этой последовательности при m³p удовлетворяют неравенству: |q m -q n |£ e/2.

По теореме 2 и представленное этой последовательностью действительное число | a-q n | £ e/2.

| a-q n | £ e Î R "n³p. 

Теорема 4 . Каково бы ни было действительное число a, всегда найдется целое число M, что будет выполняться неравенство M£a

(" aÎR $! MÎZ (M £ a < M+1))

Доказательство.

Шаг 1. Доказательство существования.

Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a: ((q n)Îa). В силу Теоремы 1, $ LÎZ 0 , такое что " nÎN q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

По Теореме 3 (q n)Îa Û " e>0, eÎR $ pÎN : ((" nÎN , n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

Тогда " n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n ½+½ q n ½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

Т.к. e – произвольное число >0, то –L £ a £ L. После этого очевидно, что -1-L < a < L+1.

Тогда среди конечного множества целых чисел: -L-1, -L, -L+1, …, -1, 0, +1, …, L, L+1, найдем первое число M+1, для которого выполняется условие a < M+1.

Тогда число M не удовлетворяет неравенству M £ a < M+1, т.е. такое число M существует.

Шаг 2. Доказательство единственности.4

Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают числовые функции. Они (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют.

Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непонятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эволюция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном известно о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свойства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического использования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного перехода - основной неарифметической операции анализа.

§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел

1. Определение множества действительных чисел

Определение 1. Множество Е называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы - действительными (вещественными)

числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

(I) Аксиомы сложения

Определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый суммой х и у. При этом выполнены следующие условия:

Существует нейтр алъный элемент 0 (называемый в случае сложения нулем) такой, что для любого

Для любого элемента имеется элемент , называемый пр отивопо ложным к такой, что

Операция 4 ассоциативна, т. е. для любых элементов из выполнено

Операция 4 коммутативна, т. е. для любых элементов из Е выполнено

Если на каком-то множестве определена операция, удовлетворяющая аксиомам то говорят, что на задана структура группы или что есть группа. Если операцию называют сложением, то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что операция коммутативна, т. е. выполнено условие то группу называют коммутативной или абелевой. Итак, аксиомы говорят, что Е есть аддитивная абелева группа.

(II) Аксиомы умножения

Определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый произведением х и у, причем так, что выполнены следующие условия:

1. Существует нейтральный элемент в случае умножения единицей) такой, что

2. Для любого элемента имеется элемент , называемый обратным, такой, что

3. Операция ассоциативна, т. е. любых из Е

4. Операция коммутативна, т. е. для любых

Заметим, что по отношению к операции умножения множество как можно проверить, является (мультипликативной) группой.

(I, II) Связь сложения и умножения

Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е.

Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равенство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множителей.

Если на каком-то множестве действуют две операции, удовлетворяющие всем перечисленным аксиомам, то называется алгебраическим полем или просто полем.

(III) Аксиомы порядка

Между элементами Е имеется отношение т. е. для элементов из Е установлено, выполняется ли или нет. При этом должны удовлетворяться следующие условия:

Отношение называется отношением неравенства.

Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношение, удовлетворяющее аксиомам 0, 1, 2, как известно, называют частично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3, т. е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называется линейно упорядоченным.

Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядочено отношением неравенства между его элементами.

(I, III) Связь сложения и порядка в R

Если х, - элементы R, то

(II, III) Связь умножения и порядка в R

Если - элементы R, то

(IV) Аксиома полноты (непрерывности)

Если X и Y - непустые подмножества Е, обладающие тем свойством, что для любых элементов выполнено то существует такое , что для любых элементов .

Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве Е позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел.

Это определение формально не предполагает никакой предварительной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиоматического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний.

Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональным числам; что вам неизвестно великое открытие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т. е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процессе измерений понятия «больше» что вы не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего этого предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольным плодом фантазии.

Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают по крайней мере два вопроса.

Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т. е. существует лимножество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиворечивости аксиоматики.

Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математический объект, т. е., как сказали бы логики, категорична ли система аксиом.

Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, числовых систем удовлетворяющие аксиоматике, то между множествами можно установить биективное соответствие, пусть сохраняющее арифметические операции и отношение порядка, т. е.

С математической точки зрения в таком случае являются всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, - бесконечные десятичные дроби, а - точки на числовой прямой). Такие реализации называются изоморфными, а отображение - изоморфизмом. Результаты математической деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики.

Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничимся только информативными ответами на них.

Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. I, § 4, п. 2), можно построить множество натуральных, затем множество рациональных и, наконец, множество Е всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечисленным свойствам.

В школьном курсе математики действительные числа определялись конструктивным путем, основываясь на потребности проводить измерения. Такое определение являлось нестрогим и часто заводило исследователей в тупик. Например, вопрос о непрерывности действительных чисел, то есть имеются ли пустоты в этом множестве. Поэтому при проведении математических исследований необходимо иметь строгое определение исследуемых понятий, хотя бы в рамках некоторых интуитивных предположений (аксиом), которые согласуются с практикой.

О п р е д е л е н и е. Совокупность элементов x, y, z, …, состоящая более чем из одного элемента, называется множеством R действительных чисел, если для этих объектов установлены следующие операции и отношения:

I группа аксиом – аксиомы операции сложения.

В множестве R введена операция сложения, то есть для любой пары элементов a и b суммой и обозначаемый a + b
I 1 . a +b =b +a , a, b R .

I 2 . a +(b+c )=(a+b )+c , a , b , c R .

I 3. Существует такое элемент, называемый нулем и обозначаемый 0, что для любого a R выполняется условие a +0=a .

I 4 . Для любого элемента a R существует элемент, называемый ему противоположным и обозначаемый -a , для которого a +(-a )=0. Элемент a +(-b ), a , b R , называется разностью элементов a и b и обозначается a - b .

II –группа аксиом - аксиомы операции умножения . В множестве R введена операция умножения , то есть для любой пары элементов a и b определен единственный элемент, называемый их произведением и обозначаемый a b , так, что при этом выполняются следующие условия:
II 1 . ab =ba, a , b R .

II 2 a (bc )=(ab )c , a , b , c R .

II 3 . Существует такое элемент, называемое единицей и обозначаемое 1, что для любого a R выполняется условие a 1=a .

II 4 . Для любого a 0 существует элемент, называемый ему обратным и обозначаемый или 1/a , для которого a =1. Элемент a , b 0, называется частным от деления a на b и обозначается a :b или или a /b .

II 5 . Связь операций сложения и умножения: для любых a , b , c R выполняется условие (ac + b)c =ac+bc.

Совокупность объектов, удовлетворяющая аксиомам I и II групп, называются числовым полем или просто полем. А соответствующие аксиомы называются аксиомами поля.

III – третья группа аксиом - аксиомы порядка. Для элементов R определено отношение порядка. Оно состоит в следующем. Для любых двух различных элементов a и b имеет место одно из двух соотношений: либо a b (читается "a меньше или равно b "), либо a b (читается "a больше или равно b "). При этом предполагается, что выполняются следующие условия:

III 1. a a для каждого a. Из a b, b следует a=b.

III 2 . Транзитивность. Если a b и b c , то a c.

III 3 . Если a b , то для любого элемента c имеет место a +c b +c .

III 4 . Если a 0, b 0, то ab 0 .

IV группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности. Для любых непустых множеств X и Y из R таких, что для каждой пары элементов x X и y Y выполняется неравенство x< y , существует элемент a R , удовлетворяющий условию

Рис. 2

x< a< y , x X , y Y (рис.2). Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел в том смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства. Данное определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до конкретной природы его элементов. Оговорка о том, что в множестве содержится более одного элемента, необходима потому, что множество, состоящее из одного только нуля, очевидным образом удовлетворяет всем аксиомам. В дальнейшем элементы множества R будем называть числами.

Определим теперь знакомые нам понятия натуральных, рациональных и иррациональных чисел. Числа 1, 2 1+1, 3 2+1, ...называются натуральными числами , и их множество обозначается N . Из определения множества натуральных чисел вытекает, что оно обладает следующим характеристическим свойством: если

1) A N ,

3) для каждого элемента x A имеет место включение x+ 1 A , то A =N .

Действительно, согласно условию 2) имеем 1 A , поэтому по свойству 3) и 2 A , а тогда согласно тому же свойству получим 3 A . Поскольку любое натуральное число n получается из 1 последовательным прибавлением к ней той же 1, то n A , т.е. N A , а так как по условию 1 выполняется включение A N , то A =N .

На этом свойстве натуральных чисел основан принцип доказательства методом математической индукции . Если имеется множество утверждений, каждому из которых приписано натуральное число (его номер) n =1, 2, ..., и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1;

2) из справедливости утверждения с любым номером n N следует справедливость утверждения с номером n +1;

то тем самым доказана справедливость всех утверждений, т.е. любого утверждения с произвольным номером n N .

Числа 0, + 1, + 2, ... называют целыми числами , их множество обозначают Z .

Числа вида m/n , где m и n целые, а n 0, называются рациональными числами . Множество всех рациональных чисел обозначают Q .

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными , их множество обозначается I .

Возникает вопрос, что, может быть, рациональные числа исчерпывают все элементы множества R? Ответ на этот вопрос дает аксиома непрерывности. Действительно, для рациональных чисел эта аксиома не выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

Легко видеть, что для любых элементов и выполняется неравенство . Однако рационального числа , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только , но оно не является рациональным. Этот факт и указывает на то, что существуют иррациональные числа в множестве R .

Кроме четырех арифметических действий над числами можно производить действия возведения в степень и извлечения корня. Для любого числа a R и натурального n степень a n определяется как произведение n сомножителей, равных a :

По определению a 0 1, a >0, a - n 1/a n , a 0, n - натуральное число.

Пример. Неравенство Бернулли: (1+x) n > 1+nx Доказать методом индукции.

Пусть a >0, n - натуральное число. Число b называется корнем n -й степени из числа a , если b n =a . В этом случае пишется . Существование и единственность положительного корня любой степени n из любого положительного числа будет доказано ниже в п. 7.3.
Корень четной степени , a 0, имеет два значения: если b = , k N , то и -b = . Действительно, из b 2k = a следует, что

(-b ) 2k = ((-b ) 2 ) k = (b 2 ) k = b 2k

Неотрицательное значение называется его арифметическим значением .
Если r = p/q , где p и q целые, q 0, т. е. r - рациональное число, то для a > 0

(2.1)

Таким образом, степень a r определена для любого рационального числа r . Из ее определения следует, что для любого рационального r имеет место равенство

a -r = 1/a r .

Степень a x (число x называется показателем степени ) для любого действительного числа x получается с помощью непрерывного распространения степени с рациональным показателем (см. об этом в п. 8.2). Для любого числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем . Для абсолютных величин чисел справедливы неравенства

|a + b | < |a | + |b |,
||a - b || < |a - b |, a , b R

Они доказываются с помощью свойств I-IV действительных чисел.

Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без нее невозможно строгое построение математического анализа. [источник не указан 1351 день ] Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

· (Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится

· (Теорема Больцано - Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка

· (Существование степенной, показательной, логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого и целого существует , то есть решение уравнения . Это позволяет определить значение выражения для всех рациональных :

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения уже для произвольного . Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа для любых .

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке , доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений, свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения[править | править вики-текст]

Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные . Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

Непрерывность по Дедекинду [править | править вики-текст]

Основная статья: Теория сечений в области рациональных чисел

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа» . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии. Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установитьсоответствие, когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли положительное или отрицательное число, получить точку , соответствующую числу . Таким образом, каждому рациональному числу соответствует одна и только одна точка на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путем отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса: точки расположенные левее , и точки расположенные правее . Сама же точка может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом, в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

Чтобы глубже понять сущность непрерывности числовой прямой в смысле Дедекинда, рассмотрим произвольноесечение множества действительных чисел, то есть разделение всех действительных чисел на два непустых класса, так что все числа одного класса лежат на числовой прямой левее всех чисел второго. Эти классы называются соответственно нижним и верхним классами сечения. Теоретически имеются 4 возможности:

1. В нижнем классе есть максимальный элемент, в верхнем классе нет минимального

2. В нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе есть минимальный

3. В нижнем классе есть максимальный, а в верхнем - минимальный элементы

4. В нижнем классе нет максимального, а в верхнем - минимального элементов

В первом и втором случаях максимальный элемент нижнего или минимальный элемент верхнего соответственно и производит данное сечение. В третьем случае мы имеем скачок , а в четвертом - пробел . Таким образом, непрерывность числовой прямой означает, что в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, то есть, образно говоря, нет пустот.

Если ввести понятие сечения множества действительных чисел, то принцип непрерывности Дедекинда можно сформулировать так.

Принцип непрерывности Дедекинда (полноты). Для каждого сечения множества действительных чисел существует число, производящее это сечение.

Замечание. Формулировка Аксиомы непрерывности о существовании точки, разделяющей два множества, весьма напоминает формулировку принципа непрерывности Дедекинда. В действительности, эти утверждения эквивалентны, и, по существу, являются разными формулировками одного и того же. Поэтому оба эти утверждения называют принципом непрерывности действительных чисел по Дедекинду .

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора) [править | править вики-текст]

Основная статья: Лемма о вложенных отрезках

Лемма о вложенных отрезках (Коши - Кантор). Всякая система вложенных отрезков

имеет непустое пересечение, то есть существует по крайней мере одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков данной системы стремится к нулю, то есть

то пересечение отрезков данной системы состоит из одной точки.

Это свойство называют непрерывностью множества действительных чисел в смысле Кантора . Ниже будет показано, что для архимедовыхупорядоченных полей непрерывность по Кантору эквивалентна непрерывности по Дедекинду.

Принцип супремума [править | править вики-текст]

Принцип супремума. Всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет супремум.

В курсах математического анализа это предложение обычно является теоремой и его доказательство существенно использует непрерывность множества действительных чисел в той или иной форме. Вместе с тем можно наоборот, постулировать существование супремума у всякого непустого ограниченного сверху множества, и опираясь на это доказать, например, принцип непрерывности по Дедекинду. Таким образом, теорема о супремуме является одной из эквивалентных формулировок свойства непрерывности действительных чисел.

Замечание. Вместо супремума можно использовать двойственное понятие инфимума.

Принцип инфимума. Всякое непустое ограниченное снизу множество действительных чисел имеет инфимум.

Это предложение также эквивалентно принципу непрерывности Дедекинда. Более того можно показать, что из утверждения теоремы о супремуме непосредственно вытекает утверждение теоремы об инфимуме, и наоборот (см. ниже).

Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля) [править | править вики-текст]

Основная статья: Лемма Гейне - Бореля

Лемма о конечном покрытии (Гейне - Борель). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, существует конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса) [править | править вики-текст]

Основная статья: Теорема Больцано - Вейерштрасса

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел[править | править вики-текст]

Сделаем некоторые предварительные замечания. В соответствии с аксиоматическим определением действительного числа, совокупность действительных чисел удовлетворяет трем группам аксиом. Первая группа - аксиомы поля. Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть линейно упорядоченное множество, причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле. Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Чтобы показать эквивалентность различных формулировок непрерывности действительных чисел, следует доказать, что если для упорядоченого поля выполнено одно из этих предложений, то из этого вытекает справедливость всех остальных.

Теорема. Пусть - произвольное линейно упорядоченное множество. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такой элемент , что для всех и имеет место соотношение

2. Для всякого сечения в существует элемент, производящий это сечение

3. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет супремум

4. Всякое непустое ограниченное снизу множество имеет инфимум

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

1. (как линейно упорядоченное множество) является полным по Дедекинду

2. Для выполнены принцип Архимеда и принцип вложенных отрезков

3. Для выполнен принцип Гейне - Бореля

4. Для выполнен принцип Больцано - Вейерштрасса

Замечание. Как видно из теоремы, принцип вложенных отрезков сам по себе не равносилен принципу непрерывности Дедекинда. Из принципа непрерывности Дедекинда следует принцип вложенных отрезков, однако для обратного требуется дополнительно потребовать, чтобы упорядоченное поле удовлетворяло аксиоме Архимеда

Доказательство приведенных теорем можно найти в книгах из списка литературы, приведенного ниже.

· Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М.: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. - 7-е изд. - М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-е исправленное издание. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с.

· Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. - Изд. 4-е, испр.. - М.: «МЦНМО», 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.

· Непрерывность функций и числовых областей: Б. Больцано, Л. О. Коши, Р. Дедекинд, Г. Кантор. - 3-е изд. - Новосибирск: АНТ, 2005. - 64 с.

4.5. Аксиома непрерывности

Каковы бы ни были два непустых множества вещественных чисел A и

B , у которых для любых элементов a ∈ A и b ∈ B выполняется неравенство

a ≤ b , существует такое число λ , что для всех a ∈ A , b ∈ B имеет место не-

равенство a ≤ λ ≤ b .

Свойство непрерывности вещественных чисел означает, что на вещест-

венной прямой нет «пустот», то есть точки, изображающие числа заполняют

всю вещественную ось.

Дадим другую формулировку аксиоме непрерывности. Для этого введем

Определение 1.4.5. Два множества A и B будем называть сечением

множества вещественных чисел, если

1) множества A и B не пусты;

2) объединение множеств A и B составляет множество всех веществен-

ных чисел;

3) каждое число множества A меньше числа множества B .

То есть каждое множество, образующее сечение, содержит хотя бы один

элемент, эти множества не содержат общих элементов и, если a ∈ A и b ∈ B , то

Множество A будем называть нижним классом, а множество B - верхним

классом сечения. Обозначать сечение будем через A B .

Самыми простыми примерами сечений являются сечения полученные сле-

дующим образом. Возьмем какое- либо число α и положим

A = { x x < α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

секаются и если a ∈ A и b ∈ B , то a < b , поэтому множества A и B образуют

сечение. Аналогично, можно образовать сечение, множествами

A ={x x ≤ α } , B ={x x > α } .

Такие сечения будем называть сечениями, порожденными числом α или

будем говорить, что число α производит это сечение. Это можно записать как

Сечения, порожденные каким-либо числом, обладают двумя интересными

свойствами:

Свойство 1. Либо верхний класс содержит наименьше число, и в нижнем

классе нет наибольшего числа, либо нижний класс содержит наибольшее чис-

ло, и верхнем классе нет наименьшего.

Свойство 2. Число, производящее данное сечение, единственно.

Оказывается, что аксиома непрерывности, сформулированная выше, эквива-

лентна утверждению, которое называют принципом Дедекинда:

Принцип Дедекинда. Для каждого сечения существует число, порождающее

это сечение.

Докажем эквивалентность этих утверждений.

Пусть справедлива аксиома непрерывности, и задано какое-нибудь се-

чение A B . Тогда, так как классы A и B удовлетворяют условиям, сформули-

рованным в аксиоме, существует число λ такое, что a ≤ λ ≤ b для любых чисел

a ∈ A и b ∈ B . Но число λ должно принадлежать одному и только одному из

классов A или B , поэтому будет выполнено одно из неравенств a ≤ λ < b или

a < λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

либо наименьшим в верхнем классе и порождает данное сечение.

Обратно, пусть выполнен принцип Дедекинда и заданы два непустых

множества A и B таких, что для всех a ∈ A и b ∈ B выполняется неравенство

a ≤ b . Обозначим через B множество чисел b таких, что a ≤ b для любого

b ∈ B и всех a ∈ A . Тогда B ⊂ B . За множество A примем множество всех чи-

сел, не входящих в B .

Докажем, что множества A и B образуют сечение.

Действительно, очевидно, что множество B не пусто, так как содержит

непустое множество B . Множество A тоже не пусто, так как если число a ∈ A ,

то число a − 1∉ B , так как любое число, входящее в B должно быть не меньше

числа a , следовательно, a − 1∈ A .

множество всех вещественных чисел, в силу выбора множеств.

И, наконец, если a ∈ A и b ∈ B , то a ≤ b . Действительно, если какое- либо

число c будет удовлетворять неравенству c > b , где b ∈ B , то будет верным не-

равенство c > a (a - произвольный элемент множества A) и c ∈ B .

Итак, A и B образуют сечение, и в силу принципа Дедекинда, существует чис-

ло λ , порождающее это сечение, то есть являющееся либо наибольшим в клас-

Докажем, что это число не может принадлежать классу A . Действитель-

но, если λ ∈ A , то существует число a* ∈ A такое, что λ < a* . Тогда существует

число a′ , лежащее между числами λ и a* . Из неравенства a′ < a* следует, что

a′ ∈ A , тогда из неравенства λ < a′ следует, что λ не является наибольшим в

классе A , что противоречит принципу Дедекинда. Следовательно, число λ бу-

дет наименьшим в классе B и для всех a ∈ A и будет выполняться неравенство

a ≤ λ ≤ b , что и требовалось доказать.◄

Таким образом, свойство, сформулированное в аксиоме и свойство,

сформулированное в принципе Дедекинда эквивалентны. В дальнейшем эти

свойства множества вещественных чисел мы будем называть непрерывностью

по Дедекинду.

Из непрерывности множества вещественных чисел по Дедекинду следуют

две важные теоремы.

Теорема 1.4.3. (Принцип Архимеда) Каково бы ни было вещественное число

a, существует натуральное число n такое, что a < n .

Допустим, что утверждение теоремы неверно, то есть существует та-

кое число b0 , что выполняется неравенство n ≤ b0 для всех натуральных чисел

n . Разобьем множество вещественных чисел на два класса: в класс B отнесем

все числа b , удовлетворяющие неравенству n ≤ b для любых натуральных n .

Этот класс не пуст, так как ему принадлежит число b0 . В класс A отнесем все

оставшиеся числа. Этот класс тоже не пуст, так как любое натуральное число

входит в A . Классы A и B не пересекаются и их объединение составляет

множество всех вещественных чисел.

Если взять произвольные числа a ∈ A и b ∈ B , то найдется натуральное

число n0 такое, что a < n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A и B удовлетворяют принципу Дедекинда и существует число α , которое

порождает сечение A B , то есть α является либо наибольшим в классе A , ли-

бо наименьшим в классе B . Если предположить, что α входит в класс A , то

можно найти натуральное n1 , для которого выполняется неравенство α < n1 .

Так как n1 тоже входит в A , то число α не будет наибольшим в этом классе,

следовательно, наше предположение неверно и α является наименьшим в

классе B .

С другой стороны, возьмем число α − 1 , которое входит в класс A . Следова-

тельно, найдется натуральное число n2 такое, что α − 1 < n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

следует, что α ∈ A . Полученное противоречие доказывает теорему.◄

Следствие. Каковы бы ни были числа a и b такие, что 0 < a < b , существует

натуральное число n, для которого выполняется неравенство na > b .

Для доказательства достаточно применить принцип Архимеда к числу

и воспользоваться свойством неравенств.◄

Следствие имеет простой геометрический смысл: Каковы бы ни были два

отрезка, если на большем из них, от одного из его концов последовательно от-

кладывать меньший, то за конечное число шагов можно выйти за пределы

большего отрезка.

Пример 1. Доказать, что для всякого неотрицательного числа a существует

единственное неотрицательное вещественное число t такое, что

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Эта теорема о существовании арифметического корня n-ой степени

из неотрицательного числа в школьном курсе алгебры принимается без дока-

зательства.

☺Если a = 0 , то x = 0 , поэтому доказательство существования арифмети-

ческого корня из числа a требуется только для a > 0 .

Предположим, что a > 0 и разобьем множество всех вещественных чисел

на два класса. В класс B отнесем все положительные числа x, которые удовле-

творяют неравенству x n > a , в класс A , все остальные.

По аксиоме Архимеда существуют натуральные числа k и m такие, что

< a < k . Тогда k 2 ≥ k > a и 2 ≤ < a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A содержит положительные числа.

Очевидно, что A ∪ B = и если x1 ∈ A и x2 ∈ B , то x1 < x2 .

Таким образом, классы A и B образуют сечение. Число, образующее это

сечение, обозначим через t . Тогда t либо является наибольшим числом в клас-

се A , либо наименьшим в классе B .

Допустим, что t ∈ A и t n < a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

венству 0 < h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn < t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

То получим (t + h) < a . Это означает,

Отсюда, если взять h <

что t + h ∈ A , что противоречит тому, что t наибольший элемент в классе A .

Аналогично, если предположить, что t - наименьший элемент класса B ,

то, взяв число h , удовлетворяющее неравенствам 0 < h < 1 и h < ,

получим (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Это означает, что t − h ∈ B и t не может быть наименьшим элементом

класса B . Следовательно, t n = a .

Единственность следует из того что, если t1 < t2 , то t1n < t2 .☻ n

Пример 2. Доказать, что, если a < b , то всегда найдется рациональное число r

такое, что a < r < b .

☺Если числа a и b - рациональные, то число рационально и удов-

летворяет требуемым условиям. Допустим, что хотя бы одно из чисел a или b

иррационально, например, допустим, что иррационально число b . Предполо-

жим также, что a ≥ 0 , тогда b > 0 . Запишем представления чисел a и b в виде

десятичных дробей: a = α 0 ,α1α 2α 3.... и b = β 0 , β1β 2 β3... , где вторая дробь беско-

нечная и непериодическая. Что касается представления числа a , то будем счи-

тать, что, если число a - рационально, то его запись либо конечна, либо это пе-

риодическая дробь, период которой не равен 9.

Так как b > a , то β 0 ≥ α 0 ; если β 0 = α 0 , то β1 ≥ α1 ; если β1 = α1 , то β 2 ≥ α 2

и т. д., причем найдется такое значение i , при котором в первый раз будет вы-

полняться строгое неравенство βi > α i . Тогда число β 0 , β1β 2 ...βi будет рацио-

нальным и будет лежать между числами a и b .

Если a < 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n , где n - натуральное число, такое что n ≥ a . Существование такого числа

следует из аксиомы Архимеда. ☻

Определение 1.4.6. Пусть дана последовательность отрезков числовой оси

{[ an ; bn ]} , an < bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

женных отрезков, если для любого n выполняются неравенства an ≤ an+1 и

Для такой системы выполняются включения

[ a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn ] ⊃ ... ,

то есть каждый следующий отрезок содержится в предыдущем.

Теорема 1.4.4. Для всякой системы вложенных отрезков существует по

крайней мере одна точка, которая входит в каждый из этих отрезков.

Возьмем два множества A = {an } и B = {bn } . Они не пусты и при любых

n и m выполняется неравенство an < bm . Докажем это.

Если n ≥ m , то an < bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Таким образом, классы A и B удовлетворяют аксиоме непрерывности и,

следовательно, существует число λ такое, что an ≤ λ ≤ bn для любого n, т.е. это

число принадлежит любому отрезку [ an ; bn ] .◄

В дальнейшем (теорема 2.1.8) мы уточним эту теорему.

Утверждение, сформулированное в теореме 1.4.4, называется принципом

Кантора, а множество, удовлетворяющее этому условию, будем называть не-

прерывным по Кантору.

Мы доказали, что, если упорядоченное множество непрерывно по Деде-

кинду, то в нем выполнен принцип Архимеда и оно непрерывно по Кантору.

Можно доказать, что упорядоченное множество, в котором выполнены прин-

ципы Архимеда и Кантора, будет непрерывным по Дедекинду. Доказательство

этого факта содержится, например, в .

Принцип Архимеда позволяет каждому отрезку прямой сопоставить не-

которое единственное положительное число, удовлетворяющее условиям:

1. равным отрезкам соответствуют равные числа;

2. Если В точка отрезка АС и отрезкам АВ и ВС соответствуют числа a и

b, то отрезку АС соответствует число a + b ;

3. некоторому отрезку соответствует число 1.

Число, соответствующее каждому отрезку и удовлетворяющее условиям 1-3 на-

зывается длиной этого отрезка.

Принцип Кантора позволяет доказать, что для каждого положительного

числа можно найти отрезок, длина которого равна этому числу. Таким образом,

между множеством положительных вещественных чисел и множеством отрез-

ков, которые откладываются от некоторой точки прямой по заданную сторону

от этой точки, можно установить взаимно однозначное соответствие.

Это позволяет дать определение числовой оси и ввести соответствие ме-

жду вещественными числами и точками на прямой. Для этого возьмем некото-

рую прямую и выберем на ней точку О, которая разделит эту прямую на два

луча. Один из этих лучей назовем положительным, а второй отрицатель-

ным. Тогда будем говорить, что мы выбрали направление на этой прямой.

Определение 1.4.7. Числовой осью будем называть прямую, на которой

а) точка О, называемая началом отсчета или началом координат;

б) направление;

в) отрезок единичной длины.

Теперь каждому вещественному числу a сопоставим точку M на число-

вой прямой таким образом, чтобы

а) числу 0 соответствовало начало координат;

б) OM = a - длина отрезка от начала координат до точки M равнялась

модулю числа;

в) если a - положительно, то точка берется на положительном луче и, ес-

ли оно отрицательно, то – на отрицательном.

Это правило устанавливает взаимно-однозначное соответствие между

множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой.

Числовую прямую (ось) будем также называть вещественной прямой

Отсюда также следует геометрический смысл модуля вещественного чис-

ла: модуль числа равен расстоянию от начала координат до точки, изобра-

жающей это число на числовой оси.

Теперь мы можем дать геометрическую интерпретацию свойствам 6 и 7

модуля вещественного числа. При положительном С числа x, удовлетворяю-

щие свойству 6, заполняют промежуток (−C , C) , а числа x, удовлетворяющие

свойству 7, лежат на лучах (−∞,C) или (C , +∞) .

Отметим еще одно замечательное геометрическое свойство модуля веще-

ственного числа.

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, соот-

ветствующими этим числам на вещественной оси.

рых стандартных числовых множеств.

Множество натуральных чисел;

Множество целых чисел;

Множество рациональных чисел;

Множество вещественных чисел;

Множества, соответственно, целых, рациональных и веще-

ственных неотрицательных чисел;

Множество комплексных чисел.

Кроме того, множество вещественных чисел обозначается как (−∞, +∞) .

Подмножества этого множества:

(a, b) = { x | x ∈ R, a < x < b} - интервал;

[ a, b] = { x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b} - отрезок;

(a, b] = { x | x ∈ R, a < x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

лы или полуотрезки;

(a, +∞) = { x | x ∈ R, a < x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = { x | x ∈ R, a ≤ x} или (−∞, b] = { x | x ∈ R, x ≤ b} - замкнутые лучи.

Наконец, иногда нам будут нужны промежутки, у которых нам не будет важно,

принадлежат его концы этому промежутку или нет. Такой промежуток будем

обозначать a, b .

§ 5 Ограниченность числовых множеств

Определение 1.5.1. Числовое множество X называется ограниченным

сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из

множества X .

Определение 1.5.2. Числовое множество X называется ограниченным

снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из

множества X .

Определение 1.5.3. Числовое множество X называется ограниченным,

если оно ограничено сверху и снизу.

В символической записи эти определения будут выглядеть следующим

множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m и

ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Теорема 1.5.1. Числовое множество X ограничено тогда и только тогда,

когда существует число C такое, что для всех элементов x из этого множе-

ства выполняется неравенство x ≤ C .

Пусть множество X ограничено. Положим C = max (m , M) - наи-

большее из чисел m и M . Тогда, используя свойства модуля вещественных

чисел, получим неравенства x ≤ M ≤ M ≤ C и x ≥ m ≥ − m ≥ −C , откуда следу-

ет, что x ≤ C .

Обратно, если выполняется неравенство x ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Это и есть тре-

буемое, если положить M = C и m = −C .◄

Число M , ограничивающее множество X сверху, называется верхней

границей множества. Если M - верхняя граница множества X , то любое

число M ′ , которое больше M , тоже будет верхней границей этого множества.

Таким образом, мы можем говорить о множестве верхних границ множества

X . Обозначим множество верхних границ через M . Тогда, ∀x ∈ X и ∀M ∈ M

будет выполнено неравенство x ≤ M , следовательно, по аксиоме непрерывно-

сти существует число M 0 такое, что x ≤ M 0 ≤ M . Это число называется точ-

ной верхней границей числового множества X или верхней гранью этого

множества или супремумом множества X и обозначается M 0 = sup X .

Таким образом, мы доказали, что каждое непустое числовое множество,

ограниченное сверху, всегда имеет точную верхнюю границу.

Очевидно, что равенство M 0 = sup X равносильно двум условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ M 0 , т.е. M 0 - верхняя граница множе-

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > M 0 − ε , т.е. эту гра-

ницу нельзя улучшить (уменьшить).

Пример 1. Рассмотрим множество X = ⎨1 − ⎬ . Докажем, что sup X = 1 .

☺Действительно, во-первых, неравенство 1 − < 1 выполняется для любого

n ∈ ; во-вторых, если взять произвольное положительное число ε , то по

принципу Архимеда можно найти натуральное число nε , такое что nε > . То-

гда будет выполнено неравенство 1 − > 1 − ε , т.е. нашелся элемент xnε мно-

жества X , больший чем 1 − ε , что означает, что 1 – наименьшая верхняя грани-

Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то

оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гра-

нью или инфимумом множества X и обозначается inf X .

Равенство m0 = inf X равносильно условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ m0 ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε < m0 + ε .

Если в множестве X есть наибольший элемент x0 , то будем называть его

максимальным элементом множества X и обозначать x0 = max X . Тогда

sup X = x0 . Аналогично, если в множестве существует наименьший элемент, то

его будем называть минимальным, обозначать min X и он будет являться ин-

фимумом множества X .

Например, множество натуральных чисел имеет наименьший элемент –

единицу, который одновременно является и инфимумом множества. Супре-

мума это множество не имеет, так как оно не является ограниченным сверху.

Определения точных верхней и нижней границ можно распространить на

множества, неограниченные сверху или снизу, полагая, sup X = +∞ или, соот-

ветственно, inf X = −∞ .

В заключение сформулируем несколько свойств верхних и нижних гра-

Свойство 1. Пусть X - некоторое числовое множество. Обозначим через

− X множество {− x | x ∈ X } . Тогда sup (− X) = − inf X и inf (− X) = − sup X .

Свойство 2. Пусть X - некоторое числовое множество λ - вещественное

число. Обозначим через λ X множество {λ x | x ∈ X } . Тогда если λ ≥ 0 , то

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X и, если λ < 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Свойство 3. Пусть X1 и X 2 - числовые множества. Обозначим через

X1 + X 2 множество { x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 } и через X1 − X 2 множество

{ x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2} . Тогда sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 и

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Свойство 4. Пусть X1 и X 2 - числовые множества, все элементы кото-

рых неотрицательны. Тогда

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Докажем, например, первое равенство в свойстве 3.

Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 и x = x1 + x2 . Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 и

x ≤ sup X1 + sup X 2 , откуда sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число

y < sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

что x1 < sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y < x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, который больше числа y и

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Доказательства остальных свойств проводятся аналогично и предостав-

ляются читателю.

§ 6 Счетные и несчетные множества

Определение 1.6.1. Рассмотрим множество первых n натуральных чисел

n = {1,2,..., n} и некоторое множество A . Если можно установить взаимно-

однозначное соответствие между A и n , то множество A будем называть

конечным.

Определение 1.6.2. Пусть дано некоторое множество A . Если можно

установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и

множеством натуральных чисел, то множество A будем называть счет-

Определение 1.6.3. Если множество A конечно или счетно, то будем го-

ворить, что оно не более чем счетно.

Таким образом, множество будет счетно, если его элементы можно рас-

положить в виде последовательности.

Пример 1. Множество четных чисел – счетное, так как отображение n ↔ 2n

является взаимно однозначным соответствием между множеством натуральных

чисел и множеством четных чисел.

Очевидно, такое соответствие можно установить не единственным обра-

зом. Например, можно установить соответствие между множеством и мно-

жеством (целых чисел), установив соответствие таким способом

Аксиома непрерывности (полноты). $A\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$ и $B\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$ $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ выполняется неравенство $a\; \backslash leqslant\; b$, существует такое действительное число $\backslash xi$, что для всех $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ имеет место соотношение

$a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой , данное утверждение представляется очевидным. Если два множества $A$ и $B$ таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число $\backslash xi$, разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов $A$ (кроме, возможно, самого $\backslash xi$) и левее всех элементов $B$ (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

A = \{x \in \mathbb{Q}: x > 0, \; x^2 < 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x > 0, \; x^2 > 2\}

Легко видеть, что для любых элементов $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ выполняется неравенство . Однако рационального числа $\backslash xi$, разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только $\backslash sqrt\{2\}$, но оно не является рациональным .

Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без неё невозможно строгое построение математического анализа. Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

• (Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится
• (Теорема Больцано - Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка
• (Существование степенной , показательной , логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого $a\; >\; 0$ и целого $n\; \backslash geqslant\; 1$ существует $\backslash sqrt[n]\{a\}$, то есть решение уравнения $x^n=a,\; x>0$. Это позволяет определить значение выражения $a^x$ для всех рациональных $x$:

$a^\{m/n\}\; =\; \backslash left(\backslash sqrt[n]\{a\}\backslash right)^m$

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения $a^x$ уже для произвольного $x\; \backslash in\; \backslash R$. Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа $\backslash log\_\{a\}\{b\}$ для любых $a,b\; >0\; ,\; a\; \backslash neq\; 1$.

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская, поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке $\backslash varepsilon\; -\; \backslash delta$, доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений , свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения

Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные . Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

Непрерывность по Дедекинду

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа » . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии . Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установить соответствие , когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу $a$ построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли $a$ положительное или отрицательное число, получить точку $p$, соответствующую числу $a$. Таким образом, каждому рациональному числу $a$ соответствует одна и только одна точка $p$ на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путём отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если $p$ есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса : точки расположенные левее $p$, и точки расположенные правее $p$. Сама же точка $p$ может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом , в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

Это предложение также эквивалентно принципу непрерывности Дедекинда. Более того можно показать, что из утверждения теоремы о супремуме непосредственно вытекает утверждение теоремы об инфимуме, и наоборот (см. ниже).

Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)

Лемма о конечном покрытии (Гейне - Борель). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, существует конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел

Сделаем некоторые предварительные замечания. В соответствии с аксиоматическим определением действительного числа , совокупность действительных чисел удовлетворяет трем группам аксиом. Первая группа - аксиомы поля . Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть линейно упорядоченное множество , причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле . Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Чтобы показать эквивалентность различных формулировок непрерывности действительных чисел, следует доказать, что если для упорядоченого поля выполнено одно из этих предложений, то из этого вытекает справедливость всех остальных.

Теорема. Пусть $\backslash mathsf\{R\}$ - произвольное линейно упорядоченное множество . Следующие утверждения эквивалентны:

1. Каковы бы ни были непустые множества $A\; \backslash subset\; \backslash mathsf\{R\}$ и $B\; \backslash subset\; \backslash mathsf\{R\}$, такие что для любых двух элементов $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ выполняется неравенство $a\; \backslash leqslant\; b$, существует такой элемент $\backslash xi\; \backslash in\; \backslash mathsf\{R\}$, что для всех $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ имеет место соотношение $a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$
2. Для всякого сечения в $\backslash mathsf\{R\}$ существует элемент, производящий это сечение
3. Всякое непустое ограниченное сверху множество $A\; \backslash subset\; \backslash mathsf\{R\}$ имеет супремум
4. Всякое непустое ограниченное снизу множество $A\; \backslash subset\; \backslash mathsf\{R\}$ имеет инфимум

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на $\backslash mathsf\{R\}$ введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство $\backslash mathsf\{R\}$ как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть $\backslash mathsf\{R\}$ - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

1. $\backslash mathsf\{R\}$ (как линейно упорядоченное множество) является полным по Дедекинду
2. Для $\backslash mathsf\{R\}$ выполнены принцип Архимеда и принцип вложенных отрезков
3. Для $\backslash mathsf\{R\}$ выполнен принцип Гейне - Бореля
4. Для $\backslash mathsf\{R\}$ выполнен принцип Больцано - Вейерштрасса

Замечание. Как видно из теоремы, принцип вложенных отрезков сам по себе не равносилен принципу непрерывности Дедекинда. Из принципа непрерывности Дедекинда следует принцип вложенных отрезков, однако для обратного требуется дополнительно потребовать, чтобы упорядоченное поле $\backslash mathsf\{R\}$ удовлетворяло аксиоме Архимеда

Доказательство приведенных теорем можно найти в книгах из списка литературы, приведенного ниже.

Напишите отзыв о статье "Непрерывность множества действительных чисел"

Примечания

Литература

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М .: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1 .
• Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. - 7-е изд. - М .: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X .
• Дедекинд, Р. = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-е исправленное издание. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с.
• Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. - Изд. 4-е, испр.. - М .: «МЦНМО», 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9 .
• Непрерывность функций и числовых областей: Б. Больцано, Л. О. Коши, Р. Дедекинд, Г. Кантор. - 3-е изд. - Новосибирск: АНТ, 2005. - 64 с.

Отрывок, характеризующий Непрерывность множества действительных чисел

– Так вот кого мне жалко – человеческого достоинства, спокойствия совести, чистоты, а не их спин и лбов, которые, сколько ни секи, сколько ни брей, всё останутся такими же спинами и лбами.
– Нет, нет и тысячу раз нет, я никогда не соглашусь с вами, – сказал Пьер.

Вечером князь Андрей и Пьер сели в коляску и поехали в Лысые Горы. Князь Андрей, поглядывая на Пьера, прерывал изредка молчание речами, доказывавшими, что он находился в хорошем расположении духа.
Он говорил ему, указывая на поля, о своих хозяйственных усовершенствованиях.
Пьер мрачно молчал, отвечая односложно, и казался погруженным в свои мысли.
Пьер думал о том, что князь Андрей несчастлив, что он заблуждается, что он не знает истинного света и что Пьер должен притти на помощь ему, просветить и поднять его. Но как только Пьер придумывал, как и что он станет говорить, он предчувствовал, что князь Андрей одним словом, одним аргументом уронит всё в его ученьи, и он боялся начать, боялся выставить на возможность осмеяния свою любимую святыню.
– Нет, отчего же вы думаете, – вдруг начал Пьер, опуская голову и принимая вид бодающегося быка, отчего вы так думаете? Вы не должны так думать.
– Про что я думаю? – спросил князь Андрей с удивлением.
– Про жизнь, про назначение человека. Это не может быть. Я так же думал, и меня спасло, вы знаете что? масонство. Нет, вы не улыбайтесь. Масонство – это не религиозная, не обрядная секта, как и я думал, а масонство есть лучшее, единственное выражение лучших, вечных сторон человечества. – И он начал излагать князю Андрею масонство, как он понимал его.
Он говорил, что масонство есть учение христианства, освободившегося от государственных и религиозных оков; учение равенства, братства и любви.
– Только наше святое братство имеет действительный смысл в жизни; всё остальное есть сон, – говорил Пьер. – Вы поймите, мой друг, что вне этого союза всё исполнено лжи и неправды, и я согласен с вами, что умному и доброму человеку ничего не остается, как только, как вы, доживать свою жизнь, стараясь только не мешать другим. Но усвойте себе наши основные убеждения, вступите в наше братство, дайте нам себя, позвольте руководить собой, и вы сейчас почувствуете себя, как и я почувствовал частью этой огромной, невидимой цепи, которой начало скрывается в небесах, – говорил Пьер.
Князь Андрей, молча, глядя перед собой, слушал речь Пьера. Несколько раз он, не расслышав от шума коляски, переспрашивал у Пьера нерасслышанные слова. По особенному блеску, загоревшемуся в глазах князя Андрея, и по его молчанию Пьер видел, что слова его не напрасны, что князь Андрей не перебьет его и не будет смеяться над его словами.
Они подъехали к разлившейся реке, которую им надо было переезжать на пароме. Пока устанавливали коляску и лошадей, они прошли на паром.
Князь Андрей, облокотившись о перила, молча смотрел вдоль по блестящему от заходящего солнца разливу.
– Ну, что же вы думаете об этом? – спросил Пьер, – что же вы молчите?
– Что я думаю? я слушал тебя. Всё это так, – сказал князь Андрей. – Но ты говоришь: вступи в наше братство, и мы тебе укажем цель жизни и назначение человека, и законы, управляющие миром. Да кто же мы – люди? Отчего же вы всё знаете? Отчего я один не вижу того, что вы видите? Вы видите на земле царство добра и правды, а я его не вижу.
Пьер перебил его. – Верите вы в будущую жизнь? – спросил он.
– В будущую жизнь? – повторил князь Андрей, но Пьер не дал ему времени ответить и принял это повторение за отрицание, тем более, что он знал прежние атеистические убеждения князя Андрея.
– Вы говорите, что не можете видеть царства добра и правды на земле. И я не видал его и его нельзя видеть, ежели смотреть на нашу жизнь как на конец всего. На земле, именно на этой земле (Пьер указал в поле), нет правды – всё ложь и зло; но в мире, во всем мире есть царство правды, и мы теперь дети земли, а вечно дети всего мира. Разве я не чувствую в своей душе, что я составляю часть этого огромного, гармонического целого. Разве я не чувствую, что я в этом огромном бесчисленном количестве существ, в которых проявляется Божество, – высшая сила, как хотите, – что я составляю одно звено, одну ступень от низших существ к высшим. Ежели я вижу, ясно вижу эту лестницу, которая ведет от растения к человеку, то отчего же я предположу, что эта лестница прерывается со мною, а не ведет дальше и дальше. Я чувствую, что я не только не могу исчезнуть, как ничто не исчезает в мире, но что я всегда буду и всегда был. Я чувствую, что кроме меня надо мной живут духи и что в этом мире есть правда.
– Да, это учение Гердера, – сказал князь Андрей, – но не то, душа моя, убедит меня, а жизнь и смерть, вот что убеждает. Убеждает то, что видишь дорогое тебе существо, которое связано с тобой, перед которым ты был виноват и надеялся оправдаться (князь Андрей дрогнул голосом и отвернулся) и вдруг это существо страдает, мучается и перестает быть… Зачем? Не может быть, чтоб не было ответа! И я верю, что он есть…. Вот что убеждает, вот что убедило меня, – сказал князь Андрей.
– Ну да, ну да, – говорил Пьер, – разве не то же самое и я говорю!
– Нет. Я говорю только, что убеждают в необходимости будущей жизни не доводы, а то, когда идешь в жизни рука об руку с человеком, и вдруг человек этот исчезнет там в нигде, и ты сам останавливаешься перед этой пропастью и заглядываешь туда. И, я заглянул…
– Ну так что ж! вы знаете, что есть там и что есть кто то? Там есть – будущая жизнь. Кто то есть – Бог.
Князь Андрей не отвечал. Коляска и лошади уже давно были выведены на другой берег и уже заложены, и уж солнце скрылось до половины, и вечерний мороз покрывал звездами лужи у перевоза, а Пьер и Андрей, к удивлению лакеев, кучеров и перевозчиков, еще стояли на пароме и говорили.
– Ежели есть Бог и есть будущая жизнь, то есть истина, есть добродетель; и высшее счастье человека состоит в том, чтобы стремиться к достижению их. Надо жить, надо любить, надо верить, – говорил Пьер, – что живем не нынче только на этом клочке земли, а жили и будем жить вечно там во всем (он указал на небо). Князь Андрей стоял, облокотившись на перила парома и, слушая Пьера, не спуская глаз, смотрел на красный отблеск солнца по синеющему разливу. Пьер замолк. Было совершенно тихо. Паром давно пристал, и только волны теченья с слабым звуком ударялись о дно парома. Князю Андрею казалось, что это полосканье волн к словам Пьера приговаривало: «правда, верь этому».
Князь Андрей вздохнул, и лучистым, детским, нежным взглядом взглянул в раскрасневшееся восторженное, но всё робкое перед первенствующим другом, лицо Пьера.
– Да, коли бы это так было! – сказал он. – Однако пойдем садиться, – прибавил князь Андрей, и выходя с парома, он поглядел на небо, на которое указал ему Пьер, и в первый раз, после Аустерлица, он увидал то высокое, вечное небо, которое он видел лежа на Аустерлицком поле, и что то давно заснувшее, что то лучшее что было в нем, вдруг радостно и молодо проснулось в его душе. Чувство это исчезло, как скоро князь Андрей вступил опять в привычные условия жизни, но он знал, что это чувство, которое он не умел развить, жило в нем. Свидание с Пьером было для князя Андрея эпохой, с которой началась хотя во внешности и та же самая, но во внутреннем мире его новая жизнь.

Уже смерклось, когда князь Андрей и Пьер подъехали к главному подъезду лысогорского дома. В то время как они подъезжали, князь Андрей с улыбкой обратил внимание Пьера на суматоху, происшедшую у заднего крыльца. Согнутая старушка с котомкой на спине, и невысокий мужчина в черном одеянии и с длинными волосами, увидав въезжавшую коляску, бросились бежать назад в ворота. Две женщины выбежали за ними, и все четверо, оглядываясь на коляску, испуганно вбежали на заднее крыльцо.
– Это Машины божьи люди, – сказал князь Андрей. – Они приняли нас за отца. А это единственно, в чем она не повинуется ему: он велит гонять этих странников, а она принимает их.
– Да что такое божьи люди? – спросил Пьер.
Князь Андрей не успел отвечать ему. Слуги вышли навстречу, и он расспрашивал о том, где был старый князь и скоро ли ждут его.
Старый князь был еще в городе, и его ждали каждую минуту.
Князь Андрей провел Пьера на свою половину, всегда в полной исправности ожидавшую его в доме его отца, и сам пошел в детскую.
– Пойдем к сестре, – сказал князь Андрей, возвратившись к Пьеру; – я еще не видал ее, она теперь прячется и сидит с своими божьими людьми. Поделом ей, она сконфузится, а ты увидишь божьих людей. C"est curieux, ma parole. [Это любопытно, честное слово.]
– Qu"est ce que c"est que [Что такое] божьи люди? – спросил Пьер
– А вот увидишь.
Княжна Марья действительно сконфузилась и покраснела пятнами, когда вошли к ней. В ее уютной комнате с лампадами перед киотами, на диване, за самоваром сидел рядом с ней молодой мальчик с длинным носом и длинными волосами, и в монашеской рясе.
На кресле, подле, сидела сморщенная, худая старушка с кротким выражением детского лица.
– Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Андрей, почему не предупредили меня?] – сказала она с кротким упреком, становясь перед своими странниками, как наседка перед цыплятами.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Очень рада вас видеть. Я так довольна, что вижу вас,] – сказала она Пьеру, в то время, как он целовал ее руку. Она знала его ребенком, и теперь дружба его с Андреем, его несчастие с женой, а главное, его доброе, простое лицо расположили ее к нему. Она смотрела на него своими прекрасными, лучистыми глазами и, казалось, говорила: «я вас очень люблю, но пожалуйста не смейтесь над моими ». Обменявшись первыми фразами приветствия, они сели.
– А, и Иванушка тут, – сказал князь Андрей, указывая улыбкой на молодого странника.
– Andre! – умоляюще сказала княжна Марья.
– Il faut que vous sachiez que c"est une femme, [Знай, что это женщина,] – сказал Андрей Пьеру.
– Andre, au nom de Dieu! [Андрей, ради Бога!] – повторила княжна Марья.
Видно было, что насмешливое отношение князя Андрея к странникам и бесполезное заступничество за них княжны Марьи были привычные, установившиеся между ними отношения.
– Mais, ma bonne amie, – сказал князь Андрей, – vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j"explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme… [Но, мой друг, ты должна бы быть мне благодарна, что я объясняю Пьеру твою близость к этому молодому человеку.]
– Vraiment? [Правда?] – сказал Пьер любопытно и серьезно (за что особенно ему благодарна была княжна Марья) вглядываясь через очки в лицо Иванушки, который, поняв, что речь шла о нем, хитрыми глазами оглядывал всех.
Княжна Марья совершенно напрасно смутилась за своих. Они нисколько не робели. Старушка, опустив глаза, но искоса поглядывая на вошедших, опрокинув чашку вверх дном на блюдечко и положив подле обкусанный кусочек сахара, спокойно и неподвижно сидела на своем кресле, ожидая, чтобы ей предложили еще чаю. Иванушка, попивая из блюдечка, исподлобья лукавыми, женскими глазами смотрел на молодых людей.
– Где, в Киеве была? – спросил старуху князь Андрей.
– Была, отец, – отвечала словоохотливо старуха, – на самое Рожество удостоилась у угодников сообщиться святых, небесных тайн. А теперь из Колязина, отец, благодать великая открылась…
– Что ж, Иванушка с тобой?
– Я сам по себе иду, кормилец, – стараясь говорить басом, сказал Иванушка. – Только в Юхнове с Пелагеюшкой сошлись…
Пелагеюшка перебила своего товарища; ей видно хотелось рассказать то, что она видела.
– В Колязине, отец, великая благодать открылась.
– Что ж, мощи новые? – спросил князь Андрей.
– Полно, Андрей, – сказала княжна Марья. – Не рассказывай, Пелагеюшка.
– Ни… что ты, мать, отчего не рассказывать? Я его люблю. Он добрый, Богом взысканный, он мне, благодетель, рублей дал, я помню. Как была я в Киеве и говорит мне Кирюша юродивый – истинно Божий человек, зиму и лето босой ходит. Что ходишь, говорит, не по своему месту, в Колязин иди, там икона чудотворная, матушка пресвятая Богородица открылась. Я с тех слов простилась с угодниками и пошла…
Все молчали, одна странница говорила мерным голосом, втягивая в себя воздух.
– Пришла, отец мой, мне народ и говорит: благодать великая открылась, у матушки пресвятой Богородицы миро из щечки каплет…
– Ну хорошо, хорошо, после расскажешь, – краснея сказала княжна Марья.
– Позвольте у нее спросить, – сказал Пьер. – Ты сама видела? – спросил он.
– Как же, отец, сама удостоилась. Сияние такое на лике то, как свет небесный, а из щечки у матушки так и каплет, так и каплет…
– Да ведь это обман, – наивно сказал Пьер, внимательно слушавший странницу.
– Ах, отец, что говоришь! – с ужасом сказала Пелагеюшка, за защитой обращаясь к княжне Марье.
– Это обманывают народ, – повторил он.
– Господи Иисусе Христе! – крестясь сказала странница. – Ох, не говори, отец. Так то один анарал не верил, сказал: «монахи обманывают», да как сказал, так и ослеп. И приснилось ему, что приходит к нему матушка Печерская и говорит: «уверуй мне, я тебя исцелю». Вот и стал проситься: повези да повези меня к ней. Это я тебе истинную правду говорю, сама видела. Привезли его слепого прямо к ней, подошел, упал, говорит: «исцели! отдам тебе, говорит, в чем царь жаловал». Сама видела, отец, звезда в ней так и вделана. Что ж, – прозрел! Грех говорить так. Бог накажет, – поучительно обратилась она к Пьеру.
– Как же звезда то в образе очутилась? – спросил Пьер.
– В генералы и матушку произвели? – сказал князь Aндрей улыбаясь.
Пелагеюшка вдруг побледнела и всплеснула руками.
– Отец, отец, грех тебе, у тебя сын! – заговорила она, из бледности вдруг переходя в яркую краску.
– Отец, что ты сказал такое, Бог тебя прости. – Она перекрестилась. – Господи, прости его. Матушка, что ж это?… – обратилась она к княжне Марье. Она встала и чуть не плача стала собирать свою сумочку. Ей, видно, было и страшно, и стыдно, что она пользовалась благодеяниями в доме, где могли говорить это, и жалко, что надо было теперь лишиться благодеяний этого дома.
– Ну что вам за охота? – сказала княжна Марья. – Зачем вы пришли ко мне?…
– Нет, ведь я шучу, Пелагеюшка, – сказал Пьер. – Princesse, ma parole, je n"ai pas voulu l"offenser, [Княжна, я право, не хотел обидеть ее,] я так только. Ты не думай, я пошутил, – говорил он, робко улыбаясь и желая загладить свою вину. – Ведь это я, а он так, пошутил только.
Пелагеюшка остановилась недоверчиво, но в лице Пьера была такая искренность раскаяния, и князь Андрей так кротко смотрел то на Пелагеюшку, то на Пьера, что она понемногу успокоилась.

Странница успокоилась и, наведенная опять на разговор, долго потом рассказывала про отца Амфилохия, который был такой святой жизни, что от ручки его ладоном пахло, и о том, как знакомые ей монахи в последнее ее странствие в Киев дали ей ключи от пещер, и как она, взяв с собой сухарики, двое суток провела в пещерах с угодниками. «Помолюсь одному, почитаю, пойду к другому. Сосну, опять пойду приложусь; и такая, матушка, тишина, благодать такая, что и на свет Божий выходить не хочется».
Пьер внимательно и серьезно слушал ее. Князь Андрей вышел из комнаты. И вслед за ним, оставив божьих людей допивать чай, княжна Марья повела Пьера в гостиную.
– Вы очень добры, – сказала она ему.
– Ах, я право не думал оскорбить ее, я так понимаю и высоко ценю эти чувства!
Княжна Марья молча посмотрела на него и нежно улыбнулась. – Ведь я вас давно знаю и люблю как брата, – сказала она. – Как вы нашли Андрея? – спросила она поспешно, не давая ему времени сказать что нибудь в ответ на ее ласковые слова. – Он очень беспокоит меня. Здоровье его зимой лучше, но прошлой весной рана открылась, и доктор сказал, что он должен ехать лечиться. И нравственно я очень боюсь за него. Он не такой характер как мы, женщины, чтобы выстрадать и выплакать свое горе. Он внутри себя носит его. Нынче он весел и оживлен; но это ваш приезд так подействовал на него: он редко бывает таким. Ежели бы вы могли уговорить его поехать за границу! Ему нужна деятельность, а эта ровная, тихая жизнь губит его. Другие не замечают, а я вижу.
В 10 м часу официанты бросились к крыльцу, заслышав бубенчики подъезжавшего экипажа старого князя. Князь Андрей с Пьером тоже вышли на крыльцо.
– Это кто? – спросил старый князь, вылезая из кареты и угадав Пьера.
– AI очень рад! целуй, – сказал он, узнав, кто был незнакомый молодой человек.
Старый князь был в хорошем духе и обласкал Пьера.
Перед ужином князь Андрей, вернувшись назад в кабинет отца, застал старого князя в горячем споре с Пьером.
Пьер доказывал, что придет время, когда не будет больше войны. Старый князь, подтрунивая, но не сердясь, оспаривал его.
– Кровь из жил выпусти, воды налей, тогда войны не будет. Бабьи бредни, бабьи бредни, – проговорил он, но всё таки ласково потрепал Пьера по плечу, и подошел к столу, у которого князь Андрей, видимо не желая вступать в разговор, перебирал бумаги, привезенные князем из города. Старый князь подошел к нему и стал говорить о делах.
– Предводитель, Ростов граф, половины людей не доставил. Приехал в город, вздумал на обед звать, – я ему такой обед задал… А вот просмотри эту… Ну, брат, – обратился князь Николай Андреич к сыну, хлопая по плечу Пьера, – молодец твой приятель, я его полюбил! Разжигает меня. Другой и умные речи говорит, а слушать не хочется, а он и врет да разжигает меня старика. Ну идите, идите, – сказал он, – может быть приду, за ужином вашим посижу. Опять поспорю. Мою дуру, княжну Марью полюби, – прокричал он Пьеру из двери.
Пьер теперь только, в свой приезд в Лысые Горы, оценил всю силу и прелесть своей дружбы с князем Андреем. Эта прелесть выразилась не столько в его отношениях с ним самим, сколько в отношениях со всеми родными и домашними. Пьер с старым, суровым князем и с кроткой и робкой княжной Марьей, несмотря на то, что он их почти не знал, чувствовал себя сразу старым другом. Они все уже любили его. Не только княжна Марья, подкупленная его кроткими отношениями к странницам, самым лучистым взглядом смотрела на него; но маленький, годовой князь Николай, как звал дед, улыбнулся Пьеру и пошел к нему на руки. Михаил Иваныч, m lle Bourienne с радостными улыбками смотрели на него, когда он разговаривал с старым князем.

План:

Введение

• 1 Аксиома непрерывности
• 2 Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа
• 3 Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения
  • 3.1 Непрерывность по Дедекинду
  • 3.2 Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора)
  • 3.3 Принцип супремума
  • 3.4 Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)
  • 3.5 Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)
• 4 Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел
Примечания
Литература

Введение

Непрерывность действительных чисел - свойство системы действительных чисел , которым не обладает множество рациональных чисел . Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел . Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду , принцип вложенных отрезков Коши - Кантора , теорема о супремуме . В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться в качестве аксиомы - в той или иной формулировке, либо доказываться в роли теоремы .

1. Аксиома непрерывности

Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее простую и удобную для приложений формулировку свойства непрерывности действительных чисел. При аксиоматическом построении теории действительного числа данное утверждение, или эквивалентное ему, непременно входит в число аксиом действительного числа .

Геометрическая иллюстрация аксиомы непрерывности

Аксиома непрерывности (полноты). Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число ξ , что для всех и имеет место соотношение

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой, данное утверждение представляется очевидным. Если два множества A и B таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число ξ , разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов A (кроме, возможно, самого ξ ) и левее всех элементов B (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

Легко видеть, что для любых элементов и выполняется неравенство a < b . Однако рационального числа ξ , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только , но оно не является рациональным.

2. Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без нее невозможно строгое построение математического анализа. Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения a x уже для произвольного . Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа log a b для любых .

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке , доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений, свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

3. Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения

Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные . Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

3.1. Непрерывность по Дедекинду

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа» . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии. Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установить соответствие, когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу a построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли a положительное или отрицательное число, получить точку p , соответствующую числу a . Таким образом, каждому рациональному числу a соответствует одна и только одна точка p на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путем отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если p есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса: точки расположенные левее p , и точки расположенные правее p . Сама же точка p может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом, в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

Чтобы глубже понять сущность непрерывности числовой прямой в смысле Дедекинда, рассмотрим произвольное сечение множества действительных чисел, то есть разделение всех действительных чисел на два непустых класса, так что все числа одного класса лежат на числовой прямой левее всех чисел второго. Эти классы называются соответственно нижним и верхним классами сечения. Теоретически имеются 4 возможности:

1. В нижнем классе есть максимальный элемент, в верхнем классе нет минимального
2. В нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе есть минимальный
3. В нижнем классе есть максимальный, а в верхнем - минимальный элементы
4. В нижнем классе нет максимального, а в верхнем - минимального элементов

В первом и втором случаях максимальный элемент нижнего или минимальный элемент верхнего соответственно и производит данное сечение. В третьем случае мы имеем скачок , а в четвертом - пробел . Таким образом, непрерывность числовой прямой означает, что в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, то есть, образно говоря, нет пустот.

Если ввести понятие сечения множества действительных чисел, то принцип непрерывности Дедекинда можно сформулировать так.

Принцип непрерывности Дедекинда (полноты). Для каждого сечения множества действительных чисел существует число, производящее это сечение.

Замечание. Формулировка Аксиомы непрерывности о существовании точки, разделяющей два множества, весьма напоминает формулировку принципа непрерывности Дедекинда. В действительности, эти утверждения эквивалентны, и, по существу, являются разными формулировками одного и того же. Поэтому оба эти утверждения называют принципом непрерывности действительных чисел по Дедекинду .

3.2. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора)

Лемма о вложенных отрезках (Коши - Кантор). Всякая система вложенных отрезков

имеет непустое пересечение, то есть существует по крайней мере одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков данной системы стремится к нулю, то есть

то пересечение отрезков данной системы состоит из одной точки.

Это свойство называют непрерывностью множества действительных чисел в смысле Кантора . Ниже будет показано, что для архимедовых упорядоченных полей непрерывность по Кантору эквивалентна непрерывности по Дедекинду.

3.3. Принцип супремума

Принцип супремума. Всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет супремум.

В курсах математического анализа это предложение обычно является теоремой и его доказательство существенно использует непрерывность множества действительных чисел в той или иной форме. Вместе с тем можно наоборот, постулировать существование супремума у всякого непустого ограниченного сверху множества, и опираясь на это доказать, например, принцип непрерывности по Дедекинду. Таким образом, теорема о супремуме является одной из эквивалентных формулировок свойства непрерывности действительных чисел.

Замечание. Вместо супремума можно использовать двойственное понятие инфимума.

Принцип инфимума. Всякое непустое ограниченное снизу множество действительных чисел имеет инфимум.

Это предложение также эквивалентно принципу непрерывности Дедекинда. Более того можно показать, что из утверждения теоремы о супремуме непосредственно вытекает утверждение теоремы об инфимуме, и наоборот (см. ниже).

3.4. Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)

Лемма о конечном покрытии (Гейне - Борель). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, существует конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

3.5. Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

4. Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел

Сделаем некоторые предварительные замечания. В соответствии с аксиоматическим определением действительного числа, совокупность действительных чисел удовлетворяет трем группам аксиом. Первая группа - аксиомы поля. Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть линейно упорядоченное множество, причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле. Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Чтобы показать эквивалентность различных формулировок непрерывности действительных чисел, следует доказать, что если для упорядоченого поля выполнено одно из этих предложений, то из этого вытекает справедливость всех остальных.

Теорема. Пусть - произвольное линейно упорядоченное множество. Следующие утверждения эквивалентны:

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

Замечание. Как видно из теоремы, принцип вложенных отрезков сам по себе не равносилен принципу непрерывности Дедекинда. Из принципа непрерывности Дедекинда следует принцип вложенных отрезков, однако для обратного требуется дополнительно потребовать, чтобы упорядоченное поле удовлетворяло аксиоме Архимеда

Доказательство приведенных теорем можно найти в книгах из списка литературы, приведенного ниже.

Примечания

1. Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. - Изд. 4-е, испр.. - М .: «МЦНМО», 2002. - С. 43.
2. Например, при аксиоматическом определении действительного числа принцип непрерывности Дедекинда входит в число аксиом, а при конструктивном определении действительного числа с помощью дедекиндовых сечений то же самое утверждение уже является теоремой - см. например Фихтенгольц, Г. М.
3. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М .: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - С. 38.
4. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М .: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - С. 84.
5. Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. - Изд. 4-е, испр.. - М .: «МЦНМО», 2002. - С. 81.
6. Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-е исправленное издание. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с.

Литература

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М .: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1
• Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. - 7-е изд. - М .: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X
• Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-е исправленное издание. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с. , Полнота по Тьюрингу , Разбиение множества , Вариация множества , Степень множества .