Операции над обобщенными функциями. Операции над обобщенными функциями Обобщенные функции примеры

Объединением двух, или более графов G1, U G2 U … U Gn называется граф, у которого множество вершин и множество дуг объединены (рис. 8). Суммой графов G1 и G2 называется граф, определяемый как объединение графов, причем каждая вершина...

1. Решите уравнение. Решение. Построив в одной системе координат графики функций, замечаем, что они имеют одну общую точку Значит, уравнение имеет единственный корень . 2. Решите уравнение . Решение...

Корни многочленов от одной переменной

Многочлены можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом в результате снова получается многочлен. Указанные операции обладают известными свойствами: f (x) +g (x) =g (x) +f (x)...

Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач

Задача заключается в том, что бы изменить элементы исходной таблицы (массива) и вывести полученный результат в таком же виде. В данном случае мы каждый элемент таблицы умножили на 3. Текст задачи: const c=3; var t,p:text; a,b:array of integer; i,j,n,m...

Решение математических задач средствами Excel

Упражнение №5. Условие: Найдите матрицу, обратную данной:A=. Решение: 1) Вводим матрицуA в таблицу. 2) Выделяем область для обратной матрицы. 3) На панели инструментов выбираем "Вставить функцию", в диалоговом окне выбираем тип функции "МОБР"...

Решение уравнений с параметрами

Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: использование литературы разного типа, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике...

Подготовка школьного учителя математики безусловно предполагает, что он обретет навыки сознательного владения математическими понятиями, которые должен будет использовать по долгу службы. Однако не все так очевидно и категорично...

Способы решения функциональных уравнений

Продемонстрировав некоторые возможности применения функциональных уравнений в элементарной математике, перейдем теперь к рассказу об их реальном, хотя и малозаметном присутствии (и уже не один десяток лет!) в школьном курсе математики...

Теория вероятностей на уроках математики

п.1. Отношения между событиями. Сравним следующие события: А - появление двух очков при бросании игральной кости., В-появление четного числа очков при бросании игральной кости. Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А...

Теория вероятности

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда...

Теория множеств

· Из двух множеств А и В можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества А и все элементы множества. Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов...

Теория множеств

Введем операции над множествами и установим некоторую аналогию с операциями над другими математическими объектами, например, высказываниями. Операции над множествами и их свойства во многом аналогичны алгебре высказываний. Это...

Целочисленные функции

Пусть -- некоторая непрерывная монотонно возрастающая функция, обладающая тем свойством, что -- целое число -- целое число. Тогда "right"> (6) и "right"> (7) всякий раз, когда определены функции,. Докажем...

Элементы высшей математики

Суммой матриц А и В будем называть такую матриц, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые строение: или прямоугольные типа mn, или квадратные nn. Примеры: 1) Дано:...

Эллиптические функции Якоби

Обратимся к первому из равенств (2.12), которое, с учетом (22), представим в виде: или поскольку, а из (13) и (14) следует, что, то будем иметь snz=2K(k). (3.1) (3.2) где, так что (3...

Над обобщенными функциями справедливы следующие операции.

Операция умножения обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию .

Если, а есть бесконечно дифференцируемая функция, то - такая обобщенная функция, которая действует на произвольную функцию по следующему правилу:

Данная операция линейна и непрерывна из в.

Пример. Покажем, что. В самом деле

Производная обобщенной функции. Пусть - непрерывно дифференцируемая на? функция. И пусть существует отрезок такой, что

Производной обобщенной функции называется обобщенная функция, определяемая формулой

Производные высших порядков определяются для обобщенных функций по индукции:

Отсюда следует, что любая обобщенная функция бесконечно дифференцируема, причем

Пример. Найдем производную функции Хевисайда

анализ векторный поле теория

При функция является разрывной. Поэтому она не имеет производной в обычном смысле. Однако является локально интегрируемой, и ее можно рассматривать как обобщенную функцию, действующую на основные функции по правилу

По определению для любой функции имеем:

Отсюда следует, что.

Видно, что производная в обычном смысле может не совпадать с производной в смысле обобщенных функций.

Операция сдвига аргумента для обобщенных функций. Пусть есть локально интегрируемая на? функция. Для нее определена операция сдвига аргумента по правилу

Хотя значение обобщенной функции в точке не определено, но для нее можно формально ввести операцию сдвига аргумента по аналогии с полученной формулой:

При этом при любом?.

Для функции Дирака сдвиг и есть

Обобщенные функции используются при решении задач математической физики.

Вопросы для самоконтроля

Определения

• 1 Дайте определение собственного интеграла, зависящего от параметра.
• 2 Дайте определение несобственного интеграла, зависящего от параметра.
• 3 Дайте определения: а) поточечной сходимости, б) равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
• 4 Дайте определение гамма-функции.
• 5 Дайте определение бета-функции.
• 6 Дайте определение прямого и обратного преобразования Фурье.
• 7 Что называется сверткой функций?
• 8 Какие функции называются финитными?
• 9 Дайте определение пространства основных функций.
• 10 Что называется обобщенной функцией? Приведите примеры обобщенных функций.
• 11 Какая обобщенная функция называется а) регулярной, б) сингулярной?
• 12 Что называется слабой сходимостью обобщенных функций?

Формулировки теорем и формулы

• 1 Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
• 2 Перечислите свойства гамма-функции.
• 3 Перечислите свойства бета-функции.
• 4 В чем суть теоремы обращения?
• 5 Что называется косинус-, синус- преобразованиями Фурье?
• 6 Какими свойствами обладает свертка?
• 7 Перечислите основные операции над обобщенными функциями?

Доказательства теорем

• 1 Докажите непрерывность собственного интеграла, зависящего от параметра.
• 2 Докажите дифференцируемость собственного интеграла, зависящего от параметра.
• 3 Докажите интегрируемость собственного интеграла, зависящего от параметра.
• 4 Сформулируйте и докажите критерий Коши сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
• 5 Сформулируйте и докажите признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
• 6 Сформулируйте и докажите признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние - математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции . Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя , (пространственную) плотность или двойного слоя , интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру , который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщенной производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым . К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц , привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций . Соболев и Шварц являются создателями теории распределений - обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике .

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений .

Определение [ | ]

Формально обобщённая функция f {\displaystyle f} определяется как линейный непрерывный функционал (f , φ) {\displaystyle \left(f,\varphi \right)} над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» φ {\displaystyle \varphi } (так называемых основных функций ): f: φ ↦ (f , φ) {\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi)} .

Условие линейности: (f , α 1 φ 1 + α 2 φ 2) = α 1 (f , φ 1) + α 2 (f , φ 2) {\displaystyle \left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)} .

Условие непрерывности: если φ ν → 0 {\displaystyle \varphi _{\nu }\rightarrow 0} , то (f , φ ν) → 0 {\displaystyle \left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0} .

Важным примером основного пространства является пространство - совокупность финитных -функций на R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -сходятся.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций . Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в ) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга , для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т. н. «специальной» алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из ). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой фактор-алгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (то есть, бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

Дифференцирование [ | ]

Пусть f ∈ D ′ (R n) {\displaystyle f\in D"(\mathbb {R} ^{n})} . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} определяется равенством

Так как операция φ ↦ ∂ φ ∂ x i {\displaystyle \varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}} линейна и непрерывна из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} в D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства [ | ]

• Всякая f {\displaystyle f} из D ′ (R n) {\displaystyle D"(\mathbb {R} ^{n})} есть

Пусть пространство финитных функций.

Опр. Лин. непрерыв. функционал на пространстве будем наз-ть обобщённой функцией(на числовой оси ).

Множество всех обобщённых функций, в силу данного выше определения, образует сопряженное множество к пространству финитных функций .

Если – обобщённая функция и , то число называют значением обобщённой функции f на финитной функции x .

Отметим, что часто вместо в математической литературе применяются обозначения или , а в технической - или .

Для того чтобы линейный функционал на пространстве D был бы обобщённый функцией, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий:

1. Для любой последовательности () сходящейся к нулю в пространстве D числовая последовательность () сходится к нулю.

2. Функционал ограничен.

3. Для любого натурального числа n функционал непрерывен на пространстве , то есть выполняется следующее условие:

. Если в условии (3) взять m ,не зависящее от n , что эквивалентно условию , то функционал f наз-ся обобщённой функцией конечного порядка сингулярности , причём наименьшее m , при котором выполняется (2), наз-ся порядком сингулярности обобщённой функции f. Обобщённые функции, не являющиеся обобщёнными функциями конечного порядка сингулярности, наз-т обобщёнными функциями бесконечного порядка сингулярности.

Функция, определённая на числовой оси, будет наз-ся обычной, если она интегрируема по Лебегу на любом конечном интервале числовой оси.

Пусть f- обычная функция. Сопоставим ей функционал на пространстве D по следующей формуле: () (3) .

Так как f- обычная функция, а функция x финитна, то интеграл в правой части равенства (3) существует и конечен.

Линейность функционала следует из линейности интеграла.

Докажем, что функционал непрерывен. Пусть . Из определяющего равенства (3) имеем , где ради краткости введено обозначение .

Из получ. нерав-ва следует, что -обобщ. ф-ция нулевого порядка сингулярности.Т.о., каждой обычной функции мы сопоставили обобщённую функцию, причём нулевого порядка сингулярности. Такие обобщённый функции называют регулярными . В этом случае говорят, что регулярная обобщённая функция порождена обычной функцией f . Обобщённые функции, не являющиеся регулярными, наз-ся сингулярными обобщёнными функциями.

Примеры не регулярных обобщённых функций:

1. -функция. Обобщённая функция , называемая дельта-функцией, или дельта-функцией Дирака, которая определяется равенством