Математические олимпиады и олимпиадные задачи. Задания для проведения школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике Федот купил тетрадь 96 листов

Задача 16:

Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей? Решение:

Ответ: Нет

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990? Решение:

На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел - нечетна.

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю. Решение:

Среди этих чисел - четное число «минус единиц», а для того, чтобы сумма равнялась нулю, их должно быть ровно 11.

Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел? Решение:

Среди этих чисел одно (2) - четное, а остальные - нечетные. Поэтому в той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, а в других - четна.

В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки « + » и « - » так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

Замечание: учтите, что отрицательные числа также бывают четными и нечетными. Решение:

В самом деле, сумма чисел от 1 до 10 равна 55, и изменяя в ней знаки, мы меняем все выражение на четное число.

Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз - на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал. Решение:

Указание: Сумма 1 + 2 + … + 1985 нечетна.

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю? Решение:

Проверьте, что при указанных операциях четность суммы всех написанных на доске чисел не меняется.

Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1 × 2 так, чтобы свободными остались только клетки a1 и h8? Решение:

Каждая доминошка покрывает одно черное и одно белое поле, а при выкидывании полей a1 и h8 черных полей остается на 2 меньше, чем белых.

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна. Решение:

Разберите два случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы - нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что, очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.

В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз? Решение:

Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 - нечетное число.

На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B. Решение:

Для любой точки X, лежащей вне AB, имеем AX - BX = ± AB. Если предположить, что суммы расстояний равны, то мы получим, что выражение ± AB ± AB ± … ± AB, в котором участвует 45 слагаемых, равно нулю. Но это невозможно.

По кругу расставлено 9 чисел - 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми? Решение:

Ясно, что комбинация из девяти единиц раньше, чем девять нулей, получиться не может. Если же получилось девять нулей, то на предыдущем ходу нули и единицы должны были чередоваться, что невозможно, так как их всего нечетное количество.

25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа - мальчики. Решение:

Проведем наше доказательство от противного. Занумеруем всех сидящих за столом по порядку, начиная с какого-то места. Если на k-м месте сидит мальчик, то ясно, что на (k - 2)-м и на (k + 2)-м местах сидят девочки. Но поскольку мальчиков и девочек поровну, то и для любой девочки, сидящей на n-м месте, верно, что на (n - 2)-м и на (n + 2)-м местах сидят мальчики. Если мы теперь рассмотрим только тех 25 человек, которые сидят на «четных» местах, то получим, что среди них мальчики и девочки чередуются, если обходить стол в каком-то направлении. Но 25 - нечетное число.

Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов. Решение:

Ясно, что количество a участков, на которых улитка ползла вверх или вниз, равно количеству участков, на которых она ползла вправо или влево. Осталось только заметить, что a - четно.

Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах? Решение:

Обозначим кузнечиков A, B и C. Назовем расстановки кузнечиков ABC, BCA и CAB (слева направо) - правильными, а ACB, BAC и CBA - неправильными. Легко видеть, что при любом прыжке тип расстановки меняется.

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать? Решение:

Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.

Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, …, восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр? Решение:

В противном случае все цифры в ряду стояли бы на местах одной и той же четности.

Данная работа Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал (Контрольная) по предмету (АХД и финансовый анализ), была выполнена по индивидуальному заказу специалистами нашей компании и прошла свою успешную защиту. Работа - Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал по предмету АХД и финансовый анализ отражает свою тему и логическую составляющую ее раскрытия, раскрыта сущность исследуемого вопроса, выделены основные положения и ведущие идеи данной темы.
Работа - Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал, содержит: таблицы, рисунки, новейшие литературные источники, год сдачи и защиты работы – 2017 г. В работе Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал (АХД и финансовый анализ) раскрывается актуальность темы исследования, отражается степень разработанности проблемы, на основании глубокой оценки и анализе научной и методической литературы, в работе по предмету АХД и финансовый анализ рассмотрен всесторонне объект анализа и его вопросы, как с теоретической, так и практической стороны, формулируется цель и конкретные задачи рассматриваемой темы, присутствует логика изложения материала и его последовательность.

Разделы: Математика

Уважаемый участник олимпиады!

Школьная олимпиада по математике проводится в один тур.
Предлагается 5 задач различного уровня сложности.
Никаких особых требований по оформлению работы Вам не предъявляется. Форма изложения решения задач, а также способы решения могут быть любыми. Если у Вас есть какие-либо отдельные соображения по поводу той или иной задачи, но до конца решение Вы довести не можете, не стесняясь, излагайте все свои мысли. Даже частично решенные задачи будут оценены соответствующим числом баллов.
Начинайте решать более легкие на Ваш взгляд задачи, а затем переходите к остальным. Так Вы сэкономите время работы.

Желаем Вам успехов!

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

5 класс.

Задание 1. В выражении 1*2*3*4*5 замените «*» знаками действий и расставьте скобки так. Чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

Задание 2. Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые - одинаковыми.

ПЯТЬ - ТРИ =ДВА Известно, что вместо буквы А нужно подставить цифру 2.

Задание 3. Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 80 кг гвоздей на две части - 15 кг и 65 кг?

Задание 4. Фигуру, изображенную на рисунке, разрежьте на две равные части так, чтобы в каждой части было по одной звездочке. Разрезать можно только по линиям сетки.

Задание 5. Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найдите цену чашки и цену блюдца.

6 класс.

Задание 1 . Сравните дроби , не приводя их к общему знаменателю.

Задание 2. Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые - одинаковыми. Предполагается, что исходное равенство верно и записано по обычным правилам арифметики.

ТРУД
+ВОЛЯ
УДАЧА

Задание 3 . В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша - не Герасимов. Отец Володи - инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова - учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?

Задание 4 . Разделите фигуру по линиям сетки на четыре одинаковые части так чтобы в каждой части оказалось по одной точке.

Задание 5. Попрыгунья стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть - пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

7 класс.

Задание1. Решите ребус, если известно, что наибольшая цифра в числе СИЛЕН равна 5:

РЕШИ
ЕСЛИ
СИЛЕН

Задание 2. Решите уравнение│7 - х│ = 9,3

Задание 3. После семи стирок длина, ширина и толщина мыла уменьшились вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?

Задание 4 . Прямоугольник 4 × 9 клеток разделите по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было составить квадрат.

Задание 5. Деревянный куб покрасили белой краской со всех сторон, а затем распилили на 64 одинаковых кубика. Сколько кубиков оказалось окрашенными с трёх сторон? С двух сторон?
С одной стороны? Сколько кубиков не окрашено?

8 класс.

Задание 1. Какими двумя цифрами заканчивается число 13!

Задание 2. Сократите дробь:

Задание 3. Школьный драмкружок, готовясь к постановке отрывка сказки А.С. Пушкина о царе Салтане, решил распределить роли между участниками.
- Я буду Черномором, - сказал Юра.
- Нет, Черномором буду я, - заявил Коля.
- Ладно, - уступил ему Юра, - я могу сыграть Гвидона.
- Ну, я могу стать Салтаном, - тоже проявил уступчивость Коля.
- Я же согласен быть только Гвидоном! - произнес Миша.
Желания мальчиков были удовлетворены. Как распределились роли?

Задание 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ = 8м проведена медиана АD. Периметр треугольника АСD больше периметра треугольника АВD на 2м. Найти АС.

Задание 5. Николай купил общую тетрадь в 96 листов и пронумеровал страницы от 1 до 192. Племянник Артур вырвал из этой тетради 35 листов и сложил все 70 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2010.

9 класс.

Задание 1. Найдите последнюю цифру числа 1989 1989 .

Задание 2. Сумма корней некоторого квадратного уравнения равна 1, а сумма их квадратов равна 2. Чему равна сумма их кубов?

Задание 3. По трём медианам m a , m b и m c ∆ АВС найти длину стороны АС = b.

Задание 4. Сократите дробь .

Задание 5. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «камзол»?

10 класс.

Задание 1. В настоящее время есть монеты 1, 2, 5, 10 рублей. Укажите все денежные суммы, которые можно уплатить как четным, так и нечетным числом монет.

Задание 2. Докажите, что 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 делится на 6.

Задание 3. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке М . Известно, что АМ = 1,
ВМ = 2, СМ = 4 . При каких значениях DM четырехугольник ABCD является трапецией?

Задание 4. Решите систему уравнений

Задание 5. Тридцать школьников - десятиклассников и одиннадцатиклассников - обменялись рукопожатиями. При этом оказалось, что каждый десятиклассник пожал руку восьми одиннадцатиклассникам, а каждый одиннадцатиклассник подал руку семи десятиклассникам. Сколько было десятиклассников и сколько одиннадцатиклассников?