Виды средних величин, методика их вычисления. Абсолютные показатели вариации Задачи для решения

4. Четные и нечетные.

В чётных вариационных рядах сумма частот или общее число наблюдений выражено чётным числом, в нечётных ― нечётным.

5. Симметричные и асимметричные.

В симметричном вариационном ряду все виды средних величин совпадают или очень близки (мода, медиана, среднее арифметическое).

В зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей статистического исследования, а также от содержания исходного материала, в санитарной статистике применяются следующие виды средних величин:

· структурные средние (мода, медиана);

· средняя арифметическая;

· средняя гармоническая;

· средняя геометрическая;

· средняя прогрессивная.

Мода (М о) - величина варьирующего признака, которая более часто встречается в изучаемой совокупности т.е. варианта, соответствующая наибольшей частоте. Находят ее непосредственно по структуре вариационного ряда, не прибегая к каким-либо вычислениям. Она обычно является величиной очень близкой к средней арифметической и весьма удобна в практической деятельности.

Медиана (М е) - делящая вариационный ряд (ранжированный, т.е. значения вариант располагаются в порядке возрастания или убывания) на две равные половины. Медиана вычисляется при помощи так называемого нечетного ряда, который получают путем последовательного суммирования частот. Если сумма частот соответствует четному числу, тогда за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.

Мода и медиана применяются в случае незамкнутой совокупности, т.е. когда наибольшая или наименьшая варианты не имеют точной количественной характеристики (например, до 15 лет, 50 и старше и т.п.). В этом случае среднюю арифметическую (параметрические характеристики) рассчитать нельзя.

Средня я арифметическая - самая распространенная величина. Средняя арифметическая обозначается чаще через М .

Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая вычисляется:

― в тех случаях, когда совокупность представлена простым перечнем знаний признака у каждой единицы;

― если число повторений каждой варианты нет возможности определить;

― если числа повторений каждой варианты близки между собой.

Средняя арифметическая простая исчисляется по формуле:

где V - индивидуальные значения признака; n - число индивидуальных значений; - знак суммирования.

Таким образом, простая средняя представляет собой отношение суммы вариант к числу наблюдений.

Пример: определить среднюю длительность пребывания на койке 10 больных пневмонией:

16 дней - 1 больной; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

койко-дня.

Средняя арифметическая взвешенная исчисляется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака повторяются. Ее можно вычислять двояким способом:

1. Непосредственным (среднеарифметическим или прямым способом) по формуле:

где P - частота (число случаев) наблюдений каждой варианты.

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная представляет собой отношение суммы произведений вариант на частоты к числу наблюдений.

2. С помощью вычисления отклонений от условной средней (по способу моментов).

Основой для вычисления взвешенной средней арифметической является:

― сгруппированный материал по вариантам количественного признака;

― все варианты должны располагаться в порядке возрастания или убывания величины признака (ранжированный ряд).

Для вычисления по способу моментов обязательным условием является одинаковый размер всех интервалов.

По способу моментов средняя арифметическая вычисляется по формуле:

где М о - условная средняя, за которую чаще принимают величину признака, соответствующую наибольшей частоте, т.е. которая чаще повторяется (Мода).

i - величина интервала.

a - условное отклонение от условий средней, представляющее собой последовательный ряд чисел (1, 2 и т.д.) со знаком + для вариант больших условной средней и со знаком–(–1, –2 и т.д.) для вариант, которые ниже условной средней. Условное же отклонение от варианты, принятой за условную среднюю равно 0.

P - частоты.

Общее число наблюдений или n.

Пример: определить средний рост мальчиков 8 лет непосредственным способом (таблица1).

Т а б л и ц а 1

Рост в см	мальчиков P	Центральная варианта V

Центральная варианта ― середина интервала ― определяется как полу сумма начальных значений двух соседних групп:

; и т.д.

Произведение VP получают путем умножения центральных вариант на частоты ; и т.д. Затем полученные произведения складывают и получают , которую делят на число наблюдений (100) и получают среднюю арифметическую взвешенную.

см.

Эту же задачу решим по способу моментов, для чего составляется следующая таблица 2:

Т а б л и ц а 2

Рост в см (V)	мальчиков P

В качестве М о принимаем 122, т.к. из 100 наблюдений у 33 человек рост был 122см. Находим условные отклонения (a) от условной средней в соответствии с вышесказанным. Затем получаем произведение условных отклонений на частоты (aP) и суммируем полученные величины (). В итоге получится 17. Наконец, данные подставляем в формулу.

Методы вычисления средней арифметической (средней арифметической простой и взвешенной, по способу моментов)

Определяем средние величины:

Мода (Мо) =11, т.к. данная варианта встречается в вариационном ряду наиболее часто (р=6).

Медиана (Ме) - порядковый номер варианты занимающей срединное положение = 23, это место в вариационном ряду занимает варианта равная 11. Средняя арифметическая (М) позволяет наиболее полно охарактеризовать средний уровень изучаемого признака. Для вычисления средней арифметической используется два способа: среднеарифметический способ и способ моментов.

Если частота встречаемости каждой варианты в вариационном ряду равна 1, то рассчитывают среднюю арифметическую простую, используя среднеарифметический способ: М = .

Если частота встречаемости вариант в вариационном ряду отличается от 1, то рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную, по среднеарифметическому способу:

По способу моментов: А - условная средняя,

М = A + =11 += 10.4 d=V-A, A=Mo=11

Если число вариант в вариационном ряду более 30, то строится сгруппированный ряд. Построение сгруппированного ряда:

1) определение Vmin и Vmax Vmin=3, Vmax=20;

2) определение количества групп (по таблице);

3) расчет интервала между группами i = 3;

4) определение начала и конца групп;

5) определение частоты вариант каждой группы (таблица 2).

Таблица 2

Методика построения сгруппированного ряда

Длительность лечения в днях






n=45 p=480 p=30 2 p=766

Преимущество сгруппированного вариационного ряда заключается в том, что исследователь работает не с каждой вариантой, а только с вариантами, являющимися средними для каждой группы. Это позволяет в значительной степени облегчить расчеты средней.

Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность. Данную особенность статистической совокупности характеризует одно из групповых свойств генеральной совокупности - разнообразие признака . Например, возьмем группу мальчиков 12 лет и измерим их рост. После проведенных расчетов средний уровень данного признака составит 153 см. Но средняя характеризует общую меру изучаемого признака. Среди мальчиков данного возраста есть мальчики, рост которых составляет 165 см или 141 см. Чем больше мальчиков будут иметь рост отличный от 153 см, тем больше будет разнообразие этого признака в статистической совокупности.

Статистика позволяет охарактеризовать данное свойство следующим критериями:

лимит (lim),

амплитуда (Amp),

среднеквадратическое отклонение (у),

коэффициент вариации (Сv).

Лимит (lim) определяется крайними значениями вариант в вариационном ряду:

lim=V min /V max

Амплитуда (Amp) - разность крайних вариант:

Amp=V max -V min

Данные величины учитывают только разнообразие крайних вариант и не позволяют получить информацию о разнообразии признака в совокупности с учетом ее внутренней структуры. Поэтому данными критериями можно пользоваться для приближенной характеристики разнообразия, особенно при малом числе наблюдений (n<30).

вариационный ряд медицинская статистика

А – условная средняя (чаще других повторяющаяся в вариационном ряду)

а – условное отклонение от условной средней (ранг)

i – интервал

1-ый этап - определение середины групп;

2-ой этап – ранжирование групп: 0 присваивается группе, частота встречаемости врианты в которой – наибольшая. Т.е. в данном случае 7-11 (частота -32). Вверх от данной группы ранжирование производится прибавляя (-1). Вниз – прибавка (+1).

3-ий этап – определение условной моды (условная средняя). А –это середина модального интервала. В нашем случае модальным интервалом является 7 -11, таким образом А = 9.

4-ый этап –определение интервала. Интервал во всех группах ряда одинаков и равен 5. i = 5/

5-й этап –определение общего числа наблюдений. n = ∑p = 103.

Подставляем, полученные данные в формулу:

Задания для самостоятельной работы

Используя данные сгруппированного вариационного ряда рассчитайте среднюю арифметическую по способу моментов.

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

Вариант №5

Вариант №6

Вариант №7

Вариант №8

Вариант №9

Вариант №10

Вариант №11

Вариант №12

Задача №4 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с нечетным количеством вариант

Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Для определения моды в вариационном ряду ранжирование ряда необязательно. Однако, прежде чем определять медиану, необходимо выстроить вариационный ряд в порядке возрастания или убывания.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Мода = 16. Т.к. вариант 16 встречается наибольшее число раз (3 раза).

В случае если вариант, имеющих наибольшую частоту встречаемости несколько, то в вариационном ряду может быть указано две и более Моды.

Медиана в ряду с нечетным количеством определяется по формуле:

8 –это порядковый номер медианы в ранжированном вариационном ряду,

т.о. Ме = 17.

Задача №5 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с четным количеством вариант.

На основе данных, приведенных в задании, требуется найти моду и медиану

Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Строим ранжированный вариационный ряд:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

У нас имеется два срединных числа 16 и 17. В таком случае медиана находится как среднее арифметическое между ними. Me = 16,5.

М ср - рассчитанная при помощи метода моментов = 61,6 кг

Средняя арифметическая величина обладает тремя свойствами.

1. Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду . В строго симметричном ряду: М = М 0 =М е.

2. Средняя является обобщающей величиной и за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных, она вскрывает то типичное, что характерно для всей совокупности . К средней обращаются всякий раз, когда надо исключить случайное влияние отдельных факторов, выявить общие черты, существующие закономерности, получить полное и глубокое представление о наиболее общих и характерных особенностях всей группы.

3. Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю : S (V-M)= 0 . Это происходит потому, что средняя величина превышает размеры одних вариант и меньше размеров других вариант.

Иначе говоря, истинное отклонение вариант от истинной средней (d =v-М) может быть положительной и отрицательной величиной, поэтому сумма S всех "+"d и "-"d равна нулю.

Данное свойство средней используется при проверке правильности расчетов М. Если сумма отклонений вариант от средней равна нулю, то можно сделать вывод, что средняя вычислена правильно. На этом свойстве основан способ моментов для определения М. Ведь если условная средняя А будет равна истинной М, то сумма отклонений вариант от условной средней будет равна нулю.

Роль средних величин в биологии чрезвычайно велика. С одной стороны их используют для характеристики явлений в целом, с другой - они необходимы для оценки отдельных величин. При сравнении отдельных величин со средними получают ценные характеристики для каждой из них. Использование средних величин требует строгого соблюдения принципа однородности совокупности. Нарушение этого принципа искажает представление о реальных процессах.

Вычисление средних из неоднородной в социально-экономическом отношении совокупности делает их фиктивными, искаженными. Следовательно, для того чтобы правильно использовать средние величины, надо быть уверенным в том, что они характеризуют однородные статистические совокупности.

ХАРАКТЕРИСТИКА РАЗНООБРАЗИЯ ПРИЗНАКА В

СТАТИСТИЧЕСКОЙ СОВОКУПНОСТИ

Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность. Например, в группе детей, однородной по возрасту, полу и месту жительства, рост каждого ребенка отличается от роста сверстников. То же можно сказать о числе посещений, сделанных отдельными лицами в поликлинику, об уровне белка крови у каждого больного ревматизмом, об уровне артериального давления у отдельных лиц, больных гипертонической болезнью и т. п. В этом проявляется разнообразие, колеблемость признака в изучаемой совокупности. Вариабельность демонстративно можно представить на примере роста в группах подростков.

Статистика позволяет охарактеризовать это специальными критериями, определяющими уровень разнообразия каждого признака в той или иной группе. К таким критериям относятся лимит (lim), амплитуда ряда (Am), среднее квадратическое отклонение (s) и коффициент вариации (C v). Так как каждый из этих критериев имеет свое самостоятельное значение, то следует остановиться на них отдельно.

Лимит - определяется крайними значениями вариант в вариационном ряду

Амплитуда (Am) - разность крайних вариант

Лимит и амплитуда - дают определенную информацию о степени разнообразия роста в каждой группе. Однако как лимит, так и амплитуда ряда обладает одним существенным недостатком. Они учитывают только разнообразие крайних вариант и не позволяют получить информацию о разнообразии признака в совокупности с учетом ее внутренней структуры. Дело в том, что разнообразие проявляется не столько в крайних вариантах, сколько при анализе всей внутренней структуры группы. Поэтому этими критериями можно пользоваться для приближенной характеристики разнообразия, особенно при малом числе наблюдений (n<30).

Наиболее полную характеристику разнообразию признака в совокупности дает так называемое среднее квадратическое отклонение , обозначаемое греческой буквой "сигма" - s.

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения : среднеарифметический и способ моментов .

При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу, где d - истинное отклонение вариант от истинной средней (V-M).

Формула используется при небольшом числе наблюдений (n<30), когда в вариационном ряду все частоты р= 1.

При р > 1 используют формулу такого вида:

При наличии вычислительной техники эту формулу применяют и при большом количестве наблюдений.

Эта формула предназначена для определения "сигмы" по способу моментов:

где: a - условное отклонение от условной средней (V-A ); p - частота встречаемости для варианты; n - число вариант; i - величина интервала между группами.

Этот способ применяется в тех случаях, когда нет вычислительной техники, а вариационный ряд громоздкий как за счет большого числа наблюдений, так и за счет вариант, выраженных многозначными числами. При числе наблюдений, равном 30 и менее, в моменте второй степени п заменяют за (п -1).

Как видно из формулы среднего квадратичного отклонения (4), в знаменателе стоит (п -1), т.е. при числе наблюдений, равном или меньшем 30 (n£30), необходимо в знаменатель формулы брать (п -1). Если при определении средней арифметической М учитывают все элементы ряда, то, рассчитывая а, надо брать не все случаи, а на единицу меньше (п-1).

При большом числе наблюдений (n>30) в знаменатель формулы берут п, так как единица не изменяет результаты расчета и поэтому автоматически опускается.

Следует обратить внимание на то, что среднее квадратическое отклонение - именованная величина , поэтому оно должно иметь обозначение, общее для вариант и средней арифметической величины (размерность – кг, см. км и др).

Расчет среднего квадратического отклонения по способу моментов производится после расчета средней величины.

Существует еще один критерий, характеризующий уровень разнообразия величин признака в совокупности, - коэффициент вариации .

Коэффициент вариации (Сv) - является относительной мерой разнообразия, так как исчисляется как процентное отношение среднего квадратического отклонения (а) к средней арифметической величине (М). Формула коэффициента вариации такова:

Для ориентировочной оценки степени разнообразия признака пользуются следующими градациями коэффициента вариации. Если коэффициент составляет более 20%, то отмечают сильное разнообразие; при 20-10% - среднее, и если коэффициент менее 10%, то считают, что разнообразие слабое.

Коэффициент вариации применяют при сравнении степени разнообразия признаков, имеющих различия в величине признаков или неодинаковую их размерность. Допустим, необходимо сравнить степень разнообразия массы тела у новорожденных и 5-летних детей. Понятно, что у новорожденных "сигма" всегда будет меньше, чем у семилетних детей, так как меньше их индивидуальная масса. Среднее квадратическое отклонение будет меньше там, где меньше величина самого признака. В этом случае для определения различия в степени разнообразия необходимо ориентироваться не на среднее квадратическое отклонение, а на относительную меру разнообразия - коэффициент вариации Сv.

Большое значение коэффициент вариации также имеет для оценки и сопоставления степени разнообразия нескольких признаков с разной размерностью. По среднему квадратическому отклонению нельзя еще судить о различии в степени разнообразия указанных признаков. Для этого необходимо использовать коэффициент вариации – Сv.

Среднее квадратическое отклонение связано со структурой ряда распределения признака. Схематично это можно изобразить следующим образом.

Теорией статистики доказано, что при нормальном распределении в пределах М±s находится 68% всех случаев, в пределах М±2s - 95,5% всех случаев, а в пределах М±3s - 99,7% всех случаев, составляющих совокупность. Таким образом, М±3s охватывает почти весь вариационный ряд.

Это теоретическое положение статистики о закономерностях структуры ряда имеет огромное значение для практического применения среднего квадратического отклонения. Можно воспользоваться этим правилом для выяснения - вопроса о типичности средней величины. Если 95% всех вариант находятся в пределах М±2s, то средняя - является характерной для данного ряда и не требуется увеличивать число наблюдений в совокупности. Для определения типичности средней сравнивается фактическое распределение с теоретическим, путем расчета сигмальных отклонений.

Практическое значение среднего квадратического отклонения заключается также в том, что зная М и s , можно построить необходимые вариационные ряды для практического использования. Сигму (s ) также используют для сравнения степени разнообразия однородных признаков, например при сравнении колебаний (вариабельности) роста детей в городе и селе местности. Зная сигму (s ), можно рассчитать коэффициент вариации (Сv), необходимой для сравнения степени разнообразия признаков, выраженных в различных единицах измерения (сантиметрах, килограммах и др.). Это позволяет выявить более устойчивые (постоянные) и менее устойчивые признаки в совокупности.

Сравнивая коэффициенты вариации (C v), можно сделать выводы о том, что является наиболее устойчивым признаком в совокупности признаков. Среднее квадратическое отклонение (s) используется также для оценки отдельных признаков у одного объекта. Стандартное отклонение указывает, на сколько сигм (s ) от средней (М) отклоняются индивидуальные измерения.

Среднее квадратическое отклонение (s) может быть использовано в биологии и экологии при разработке проблем нормы и патологии.

Наконец, среднее квадратическое отклонение является важным компонентом формулы т м - средней ошибки средней арифметической (ошибки репрезентативности):

где т м - средняя ошибка средней арифметической величины (ошибка репрезентативности), п - число наблюдений.

Репрезентативность. Важнейшие теоретические основы репрезентативности были освещены выше в разделе, посвященном выборочной и генеральной совокупности. Репрезентативность означает представительность в выборочной совокупности всех учитываемых признаков (пол, возраст, профессия, стаж и др.) единиц наблюдения, составляющих генеральную совокупность. Достигается эта репрезентативность выборочной совокупности по отношению к генеральной с помощью специальных методов отбора, которые излагаются ниже.

Оценка достоверности результатов исследования базируется на теоретических основах репрезентативности.

ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Под достоверностью статистических показателей следует понимать степень их соответствия отображаемой ими действительности. Достоверными результатами считаются те, которые не искажают и правильно отражают объективную реальность.

Оценить достоверность результатов исследования означает определить, с какой вероятностью возможно перенести результаты, полученные на выборочной совокупности, на всю генеральную совокупность.

В большинстве исследований исследователю приходится, как правило, иметь дело с частью изучаемого явления, а выводы по результатам такого исследования переносить на все явление в целом - на генеральную совокупность.

Таким образом, оценка достоверности необходима для того, чтобы по части явления должно было бы судить о явлении в целом, о его закономерностях.

Оценка достоверности результатов исследования предусматривает определение:

1) ошибок репрезентативности (средних ошибок средних арифметических и относительных величин) - т ;

2) доверительных границ средних (или относительных) величин;

3) достоверности разности средних (или относительных) величин
(по критерию t );

4) достоверности различия сравниваемых групп по критерию c 2 .

1. Определение средней ошибки средней (или относительной) величины (ошибки репрезентативности) - т.

Ошибка репрезентативности (m ) является важнейшей статистической величиной, необходимой для оценки достоверности результатов исследования. Эта ошибка возникает в тех случаях, когда требуется по части охарактеризовать явление в целом. Эти ошибки неизбежны. Они проистекают из сущности выборочного исследования; генеральная совокупность может быть охарактеризована по выборочной совокупности только с некоторой погрешностью, измеряемой ошибкой репрезентативности.

Ошибки репрезентативности нельзя смешивать с обычным представлением об ошибках: методических, точности измерения, арифметических и др.

По величине ошибки репрезентативности определяют, насколько результаты, полученные при выборочном наблюдении, отличаются от результатов, которые могли бы быть получены при проведении сплошного исследования всех без исключения элементов генеральной совокупности.

Этот единственный вид ошибок, учитываемых статистическими методами, которые не могут быть устранены, если не осуществлен переход на сплошное изучение. Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине, т. е. к величине допустимой погрешности. Делается это путем привлечения в выборку достаточного количества наблюдений (п).

Каждая средняя величина - М (средняя длительность лечения, средний рост, средняя масса тела, средний уровень белка крови и др.), а также каждая относительная величина - Р (уровень летальности, заболеваемости и др.) должны быть представлены со своей средней ошибкой - т. Так, средняя арифметическая величина выборочной совокупности (М) имеет ошибку репрезентативности, которая называется средней ошибкой средней арифметической (m м) и определяется по формуле:

Как видно из этой формулы, величина средней ошибки средней арифметической прямо пропорциональна степени разнообразия признака и обратно пропорциональна корню квадратному из числа наблюдений. Следовательно, уменьшение величины этой ошибки при определении степени разнообразия (s ) возможно путем увеличения числа наблюдений.

На этом принципе основан метод определения достаточного числа наблюдений для выборочного исследования.

Относительные величины (Р), полученные при выборочном исследовании, также имеют свою ошибку репрезентативности, которая называется средней ошибкой относительной величины и обозначается m р

Для определения средней ошибки относительной величины (Р) используется следующая формула:

где Р - относительная величина. Если показатель выражен в процентах, то q=100-P, если Р- в промиллях, то q=1000-P, если Р- в продецимиллях, то q= 10000-Р и т.д.; п - число наблюдений. При числе наблюдений менее 30 в знаменатель следует взять (п – 1 ).

Каждая средняя арифметическая или относительная величина, полученная на выборочной совокупности, должна быть представлена со своей средней ошибкой. Это дает возможность" рассчитать доверительные границы средних и относительных величин, а также определить достоверность разности сравниваемых показателей (результатов исследования).

Метод моментов приравнивает моменты теоретического распределения к моментам эмпирического распределения (распределения, построенного по наблюдениям). Из полученных уравнений находятся оценки параметров распределения. Например, для распределения с двумя параметрами первые два момента (среднее и дисперсия распределения, соответственно, m и s) будут приравнены первым двум эмпирическим (выборочным) моментам (среднему и дисперсии выборки, соответственно), и затем будет произведено оценивание.

Где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .

Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, x i	Кол-во, f i	x i ·f i	Накопленная частота, S	(x-x ) 2 ·f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Мода

где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 - 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.

Находим А = 22.5, шаг интервала h = 5.
Средний квадрат отклонений по способу моментов .

x ц	x * i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

мин.

Среднее квадратическое отклонение .
мин.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.