Задачи на применение теоремы пифагора. Решение задач «Теорема Пифагора Решение задач с использованием теоремы Пифагора
Как символ вечного союза
Как вечной дружбы знак простой
Связала ты, гипотенуза,
Навеки катеты с собой.
Скрывала тайну ты,
Не скоро явился некий мудрый грек
И теоремой Пифагора
Тебя прославил он навек.
Цели:
- систематизировать, обобщить знания и умения по применению теоремы Пифагора при решении задач, показать их практическое применение;
- содействовать развитию математического мышления;
- воспитывать познавательный интерес.
Оборудование: потрет Пифагора, рисунок и макет телевизионной башни, таблицы для устного счета.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
2. Работа по готовым чертежам
– Можно ли по этим условиям найти площадь
треугольника?
– Какой еще вопрос можно поставить к данным
задачам?
– Найдите площади треугольников.
– Какую теорему вы применяли для нахождения
сторон треугольников?
– Как называются треугольники 1, 4 и 3? (Пифагоровые)
– Приведите еще примеры таких треугольников.
– Является ли прямоугольным треугольник со
сторонами 6, 29 и 25? Какую теорему вы использовали
для доказательства?
В это время 4 ученика работают самостоятельно.
1. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см и образует со стороной угол равный 30 о. (25√3 см 2)
2. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, большая боковая сторона – 20 см. Найдите площадь трапеции. (224 см 2)
3. Самостоятельная работа 3-х уровней по готовым чертежам.
1 вариант
| 1) а = 3 см |
2) с = 10 см |
3) а =10 см |
|
||
2 вариант
1)
|
2)
|
3)
|
3 вариант
Самопроверка работ с помощью таблицы ответов.
4. Решение задач
Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.
Дано: АВСD – ромб, ВD = 10 cм, АС = 24 см
Найти: АВ и S ромба
1. ВD перпендикулярна АС по свойству диагоналей
ромба.
2. Рассмотрим треугольник АВО: О = 90, ВО = 5 см,
АО = 12 см. По теореме Пифагора АВ = ВО 2 + АО 2
АВ = 13 см
3. S = 1/2 * 10 * 24 = 120 см 2 .
Ответ: АВ = 13 см, S = 120 см 2
Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АВ и СD, если АВ = 10 см, ВС = DА = 13 см, СD = 20 см.
Дано: АВСD – трапеция, АВ и СD основания, АВ = 10
СD = 20 см, ВС = DA = 13 см
Найти: S?
1. Проведем высоту АН и рассмотрим треугольник
АDН: Н = 90, АD = 13 cм,
DН = (20 – 10) : 2 = 5 см.
АН = 13 2 – 5 2 = 12 см
2. S = (20 + 10) : 2 * 12 = 180 см 2
Ответ: S = 180cм 2 .
– Какие формулы вы использовали при решении задач? А какие формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?
Сегодня Маша Л. познакомит вас с формулой для вычисления площади равностороннего треугольника по его стороне. (Ученица самостоятельно готовила задание дом.)
S = а 2 * √3/4, где а – сторона треугольника.
Решение задачи на применение данной формулы.
Треугольник состоит из 4-х треугольников со стороной 1см. Сколько равносторонних треугольников вы видите? Чему равна площадь данного треугольника?
Решение задачи: 5 равносторонних треугольников, а = 2 см, тогда S = √3 кв.ед.
5. Практическое задание
Отчет учеников о проделанной работе: В нашем поселке есть телевышка, высота которой 124 м. Чтобы она стояла вертикально, требуются растяжки, они несколько уровневые. Нам была поставлена задача выяснить, сколько метров троса потребуется для 4 нижних растяжек.
Так как растяжки одинаковой длины, то задача свелась к нахождению длины одной растяжки. Для этого мы выделили прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояния АС и СВ. Мы узнали, что трос крепится на высоте 40 м (АС = 40 м) и измерили расстояние от основания вышки до крепления троса на поверхности (СВ = 24 м). По теореме Пифагора АВ = 46,7 м, значит троса потребуется не менее 186,8 м.
Во время отчета демонстрируется макет телевышки и ее рисунок.
6. Итог урока
7. Домашнее задание
Закончить урок словами: Говорят, что наука отличается от искусства тем,что в то время как создания искусства вечны, великие творения науки безнадежно стареют. К счастью это не так, теорема Пифагора этому пример, мы применяли и будем применять ее при решении задач.
(вариант 1)
В прямоугольник ABCD смежные стороны относятся как 12:5, а его диагональ равна 26 см. Чему равна меньшая сторона прямоугольника?
В параллелограмме ABCD BD = 2√41 см, AC = 26 см, AD = 16 см. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма О проведена прямая, перпендикулярная стороне BC . Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону AD.
Задачи на тему «Теорема Пифагора»
Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135º, а его гипотенуза - 4√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?
Диагонали ромба равны 24 см и 18 см. Чему равна сторона ромба?
Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 25 см, а большее основание – 24 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 8 см.
Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна 17 см. Найдите площадь трапеции.
Задачи на тему «Теорема Пифагора»
В прямоугольник ABCD смежные стороны относятся как 12:5, а его диагональ равна 26 см. Чему равна меньшая сторона прямоугольника?
Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135º, а его гипотенуза - 4√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?
Диагонали ромба равны 24 см и 18 см. Чему равна сторона ромба?
Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 25 см, а большее основание – 24 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 8 см.
Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна 17 см. Найдите площадь трапеции.
В параллелограмме ABCD BD = 2√41 см, AC = 26 см, AD = 16 см. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма О проведена прямая, перпендикулярная стороне BC. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону AD.
Задачи на тему «Теорема Пифагора»
(вариант 2)
6*. Две окружности радиусов 13 см и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами О 1 и О 2 равно 14 см. Общая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О 1 О 2 в точке К. Найдите О 1 К и КО 2 (О 1 – центр окружности радиуса 13 см).
Задачи на тему «Теорема Пифагора»
В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся как 3:4, а его диагональ равна 20 см. Чему равна большая сторона прямоугольника?
Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135º, а его гипотенуза - 5√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?
Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Чему равна сторона ромба?
Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 17 см, а большее основание – 15см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 9 см.
5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 24 см, а боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции.
Задачи на тему «Теорема Пифагора»
В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся как 3:4, а его диагональ равна 20 см. Чему равна большая сторона прямоугольника?
Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135º, а его гипотенуза - 5√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?
Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Чему равна сторона ромба?
Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 17 см, а большее основание – 15см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 9 см.
5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 24 см, а боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции.
6. Две окружности радиусов 13 см и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами О 1 и О 2 равно 14 см. Общая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О 1 О 2 в точке К. Найдите О 1 К и КО 2 (О 1 – центр окружности радиуса 13 см).
Занимательные задачи по теме «Теорема Пифагора» (8 класс)
Землянухина Д.В., учитель математики МБОУ «Аннинская СОШ с УИОП»
Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества задач. Поэтому для формирования понимания значимости теоремы Пифагора при изучении как геометрии, так и других дисциплин, умений применять теорему Пифагора к решению задач я предлагаю восьмиклассникам индивидуальные разноуровневые задачи, требующие творческого подхода в решении и оформлении. Решение таких занимательных задач помогает также воспитывать у учащихся интерес к предмету: математика уже не кажется им сухой и скучной наукой, дети видят, что и здесь нужны выдумка, полет фантазии, творческие способности.
Задача №1. Древнеиндийская задача.
Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”
Какова глубина в современных единицах длины (1 фут ≈ 0,3 м) ?
Решение.
Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .
Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2 ,
(Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 ,
Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4,
Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
3, 75 ∙ 0,3 = 1,125 (м)
Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.
Задача №2. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?
Решение.
Ответ: 8 футов.
Задача №3. Задача арабского математика XI в.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Задача №4. Египетская задача.
На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.
Решение.
Ответ: 5 футов.
Задача №5.
Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?
Решение.
Ответ: 4 фута.
Задача №6.
В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на один фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он своей верхушкой достигнет берега. Какова глубина пруда в современных единицах длины (1 фут ≈ 0,3 м)?
Решение.
Обозначим глубину озера В D = х, тогда АВ = ВС = х + 1 – длина тростника. Из ∆ВDС по теореме Пифагора СD 2 = СВ 2 –ВD 2 ,
5 2 = (х + 1) 2 – х 2 ,
25 = х 2 + 2х + 1 – х 2 ,
Значит, глубина пруда 12 футов. 12 ∙ 0,3 = 3,6 (м).
Ответ: 3,6 м.
Задача №7.
Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.
Решение.
|
| а) Пусть АВ – длина лестницы из 17 ступенек. Из ∆АК D по теореме Пифагора А D = (см), АВ = 45 ∙ 17 = 765 (см) = 7, 65 (м). б) ВС = 40 ∙ 17 = 680 (см). Из ∆АСВ по теореме Пифагора АС = (см) = = 3,5 (м). |
Ответ: длина лестницы 7, 65 м, глубина станции 3,5 м.
Задача №8.
Параллельно прямой дороге на расстоянии 500м от неё расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?
Решение.
|
| Из ∆АН D по теореме Пифагора АН = (км), АВ = 2 ∙ АН + НК, АВ = 2 ∙ 2,755 + 0,12 ≈ 5,63 (км). |
Ответ: 5,63 км.
Задача №9.
Пловец поплыл от берега реки, всё время гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 мин. он был на противоположном берегу. Узнайте, на каком расстоянии от мести начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч.
Решение.
|
| Пловец приближался к противоположному берегу со скоростью АВ = 50 ∙ 5 = 250 (м). Скорость течения реки АС = ≈ 250 ∙ 2,24=560 (м) |
, значит ширина реки
, следовательно, течение снесло его за 5 мин. на 500м (ВС=500м). По теореме Пифагора находим расстояние от точки первоначального заплыва до точки выхода на противоположный берег
Ответ: 560 м.
Задача №10.
Вы плывёте на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?
Решение.
|
| Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние а между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном положении. Возвратим камыш в исходное положение и определим высоту в над водой, на которую поднимется при этом точка В наклонённого камыша, заняв исходное положение С. Тогда обозначив через D основание камыша, а через х – искомую глубину АD, из прямоугольного ∆АВD по теореме Пифагора находим х 2 +а 2 = (х+в) 2 , х 2 +а 2 = х 2 +2хв+в 2 2хв=а 2 -в 2 , х= |
Задача №11.
Как далеко видно с маяка данной высоты над уровнем моря?
Решение.
Ответ: с высоты маяка в 125 м обозревается расстояние в 40 км.
Задача №12.
Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально, равна 3 м/с.
Решение.
v 2 = 3 2 + 4 2 = 25
Ответ: 5 м/с.
Литература:
Борисова Н.А. Урок-конференция по геометрии в 8-м классе
МБНОУ «Лицей № 3 (искусств)»
Урок подготовила учитель математики
Сватковская Елена Александровна
ОТКРЫТЫЙ УРОК по ГЕОМЕТРИИ
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»
Тип урока : урок – обобщение.Цели урока : А) образовательные: обеспечение прочного и сознательного овладения системой геометрических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования; формирование алгоритмического мышления; формирование интереса к предмету; Б) развивающие: развивать у учащихся точную, экономную, информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства; творческую мыслительную деятельность учащихся на уроках посредством решения задач с не сформулированным вопросом, анализа данных, задач исследовательского характера; способствовать развитию интеллектуальных качеств личности школьников (самостоятельность, гибкость мышления, способность к «видению» проблемы, оценочным действиям, обобщению), быстрому переключению; способность формирования навыков индивидуальной и самостоятельной работы; формировать способность четко и ясно излагать мысли; применение теоремы Пифагора, следствия и и обратной ей теоремы для формирования навыков: нахождения неизвестного катета или гипотенузы из прямоугольного треугольника или элементов других фигур, для определения вида треугольника. В) воспитательные: воспитывать умение действовать по заданному алгоритму и конструировать новые; давать общее знакомство с методами познания действительности; понимание красоты и изящества математических рассуждений; прививать учащимся интерес к предмету посредством включения их в решение практических задач, применения информационных технологий; формировать умение четко и грамотно выполнять математические записи.
Развивать КОМПЕТЕНЦИИ:
Ответственность и адаптивность Коммуникативные умения Творчество и любознательность Критическое и системное мышление Умения работать с информацией и медиасредствами Умения ставить и решать проблемы Направленность на саморазвитие Социальная ответственность
ИКТ : использование на уроке презентации и компьютерного тестирования.
ПЛАН УРОКА :
- Повторение пройденного материала. (слайды 1-4)
Проверка домашней работы: задача индийского математика Бхаскары про тополь. (слайд 5-6)
Устный опрос. (слайды 7-13)
Проверка пройденного материала в форме тестирования с последующей проверкой самими учащимися. (слайды 14-17)
Решение задач по теме «Теорема Пифагора»:
- Домашнее задание: (слайды 26-29)
- Историческая справка (слайды 30-34).
Подведение итогов урока, выставление оценок.
ХОД УРОКА:
1. ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА.
На доску проецируются слайды 1-4 с выкладками теории.
2. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ.
На доску проецируются слайды 5-6. Учащиеся проверяют правильность выполнения
задачи про тополь индийского математика Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?
Решение.
Пусть CD – высота ствола.
BD = АВ
По теореме Пифагора имеем
АB²=AC²+BC²,
АB²=9+16=25,
АВ = 5 .
CD = CB + BD,
CD = 3 + 5 =8.
Ответ: 8 футов.
(сos
(АС²=АО²+ОС²) в) Как называются прямоугольные треугольники, у которых стороны – целые
числа?
(Пифагоровы)
д) 2а
а) б) в)
(м)
Итак, треугольник КОВ– прямоугольный: АВ=2АК=2КВ; ОВ=ОК+КВ ОВ=ОК+КВ ОВ= 12+5=144+25=169 КВ=ОВ-КО=17-8=289-64=225 ОВ=13 (см). КВ=15 (см) АВ=2КВ=30 (см).
6. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.
Учащиеся получают распечатку с текстами задач.
а) Старинная задача из китайской «Математики в девяти книгах»: 
"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "
б) Задача с использованием свойств касательной к окружности:
К окружности с центром О проведена касательная МК, где М – точка касания.
Найдите:
а) МК, если ОК=12 м, а радиус окружности равен 8 мм;
б) радиус окружности, если МК=6 см, ОК=8 см.
в) Разбор памятки.
г) Разгадайте кроссворд:
- Одна из сторон прямоугольного треугольника; Действие, используемое в теореме Пифагора; Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу; Древнегреческий математик, чьим именем названа теорема, изученная на уроке; Фигура, о которой идет речь в теореме Пифагора; Вид треугольника, для которого верно утверждение "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов"; Степень, в которую возводят и гипотенузу, и катеты в теореме Пифагора.
7. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.
На доске показываются слайды 29-33 с информацией о рождении Пифагора, открытии теоремы Пифагора. Учащиеся, заранее готовившие материал, зачитывают фрагменты.
а) Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество.
б) За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.
в) Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие».
г)Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один:
«Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий).
д) Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.
8. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.
Тема урока
Теорема Пифагора
Цели урока
Познакомиться школьников с теоремой Пифагора;
Сформулировать и доказать теорему Пифагора;
Познакомить школьников с разными методами применения этой теоремы при решении задач;
Формировать навыки использования полученных знаний на практике;
Развивать внимание учащихся, самостоятельность и интерес к геометрии;
Воспитывать культуру математической речи.
Задачи урока
Научиться использовать свойства фигур при выполнении заданий.
Уметь применять теорему Пифагора во время решения задач.
План урока
Краткие биографические сведения.
Теорема и ее доказательство.
Интересные факты.
Решение задач.
Домашнее задание.
Краткие биографические сведения о Пифагоре
На жаль, Пифагор не оставил никаких сочинений о своей биографии, поэтому все сведения об этом великом философе и знаменитом математике мы можем узнать только благодаря воспоминаниям его последователей, да и то не всегда справедливых. Поэтому об этом человеке ходит много легенд. Но правда заключается в том, что Пифагор был великим эллинским мудрецом, философом и талантливым математиком.
По недостоверным сведениям, великий мудрец и гениальный ученый Пифагор родился в далеко не бедной семье, на острове Самосее, приблизительно в 570 году до н.э.
Появление на свет гениального ребенка предрекла Пафия. Поэтому будущий светила получил свое имя Пифагор, которое обозначает, что это именно тот, о ком объявила Пафия. Она предсказала, что рожденный младенец в будущем принесет немало пользы и добра людям.
Новорожденный был безумно красив, а современем порадовал окружающих своими выдающимися способностями. А так как юное дарование коротало свои дни среди мудрых старцев, то в будущем это принесло свои плоды. Вот так благодаря Гермодаманту Пифагор полюбил музыку, а Ферекид направил ум ребенка к логосу. После жизни в Самосее Пифагор отпправился в Милеет, где произошло знакомство еще с одним ученым - Фалесом.
Пифагор познакомился со знаниями всех известных по тем временам мудрецов, так как был допущен к обучению и познанию всех таинств, которые были другим запрещены. Он старался докопаться до истины и впитать все накопленные человечеством знания.
После двадцати двух лет пребывания в Египте, Пифагор перебрался в Вавилон, где продолжил свое общение с различными мудрецами и магами. Вернувшись в конце своей жизни в Самиос, он был признан одним из мудрейших людей того времени.
Теорема Пифагора
Даже человек, которому пока не довелось изучать эту теорему, наверняка слышал высказывание о «пифагоровых штанах». Особенность этой теоремы в том, что она стала одной из ключевых теорем евклидовой геометрии. Она позволяет легко найти и установить соответствие между сторонами прямоугольного треугольника.
Теорема Пифагора запомнилась каждому школьнику не только высказыванием: «пифагоровы штаны на все стороны равны», а своей простотой и значимостью. И на первый взгляд эта теорема хотя и кажется простой, но имеет большое значение, так как в геометрии она применяется фактически на каждом шагу.
Теорема Пифагора насчитывает большое количество разных доказательств и, наверное, является единственной теоремой, которая имеет такое огромное число доказательств. Такое разнообразие подчеркивает безграничную значимость этой теоремы
В теореме Пифагора присутствуют геометрические, алгебраические, механические и другие доказательства.
Об открытии теоремы Пифагором сложено много разных легенд. Но, несмотря на все это, имя Пифагора навеки вошло в историю геометрии и прочно слилось с теоремой Пифагора. Ведь этот гениальный математик первым представит доказательство теоремы, которая носит его имя.
Формулировки теоремы
Существуют несколько формулировок теоремы Пифагора.
Евклидова теорема говорит нам, что квадрат стороны прямоугольного треугольника, проведенный над его прямым углом, равняется квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.
Задание: Найдите различные формулировки теоремы Пифагора. Находите ли вы в них какое-то различие?
Упрощенное доказательство Евклида
Независимо от того, мы берем метод разложения или доказательство Евклида, можно использовать любое расположение квадратов. В некоторых случаях при этом можно достичь небольших упрощений.
Возьмем квадрат, который построен на одном из катетов и имеет тоже расположение, что и треугольник. Мы видим, что продолжение стороны, противоположной катету этого квадрата проходит через вершину квадрата, который построен на гипотенузе.
Доказательство теоремы выглядит довольно просто, так как будет достаточно просто сравнить площади фигур с площадью треугольника. И мы видим, что S треугольника равна ½ площади квадрата, а также ½ S прямоугольника.
Самое простое доказательство
Алгебраическое доказательство
К алгебраическому доказательству теоремы Пифагора относятся элементарные методы, которые присутствуют в алгебре. Это способы решения уравнений в сочетании со способом замены переменных.
Давайте рассмотрим это доказательство более детально. И так, у нас есть прямоугольник АВС, у которого прямой угол – С.
Проведите с этого угла высоту CD.
Согласно определения косинуса угла мы получим:
соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2.
И соответственно:
соsВ = BD/BC=BC/AB.
Отсюда AB*BD=ВС2.
Теперь сложим эти равенства почленно и увидим, что: AD+DB=AB,
АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2.
Вот и все, теорема доказана.
Теорему Пифагора ученые «доказали» с помощью мультиков. Группа единомышленников из института им. Стеклова получила премию за оригинальный математический проект, который они разработали для школьников и учителей. Они создали мини уроки по математике, которые этот скучный предмет превратили в очень интересный и познавательный. Свои необычные этюды молодые ученые выпустили на дисках и выложили в Интернете на всеобщее обозрение.
Вопросы
1. Кто такой Пифагор?
2. О чем гласит теорема Пифагора?
3. Какие существуют формулировки теоремы Пифагора?
4. При решении, каких задач применяется теорема Пифагора?
5. Где теорема Пифагора нашла практическое применение?
6. Какие вы знаете способы использования теоремы Пифагора?
Задачи с применением теоремы Пифагора
Используя знания теоремы Пифагора, попробуйте решить следующие задачи:
Из туристической базы, одновременно, вышли две группы туристов. Первая группа пошла на юг и прошла семь километров, а вторая свернула на запад и прошла девять километров. Используя знания теоремы, найдите расстояние между группами туристов.
Если в прямоугольном треугольнике его катет равен 15 см, а гипотенуза равняется 16 см, то чему будет равен второй катет?
Чему будет равна площадь трапеции, когда ее большое основание равно 24 см, меньшее – 16, а большая диагональ прямоугольной трапеции равна 26 см?
Домашнее задание
Оформите в виде небольшого доклада несколько доказательств теоремы Пифагора, которые вам понятны и решите задачи.
1. Найдите диагональ прямоугольного треугольника, при условии, что стороны его равны 8 см и 32 см.
2. Найдите медиану треугольника, которая проведена к основанию, если в равнобедренном треугольнике периметр равен 38 см, а его боковая сторона равняется 15 см.
3. У треугольника стороны равны 10см, 6 см и 9 см. Попробуйте определить, является ли этот треугольник прямоугольным?
