Связь между основными математическими константами. Математическая константа. Якоб Бернулли, знаток и теоретик азартных игр, вывел e, рассуждая о том, сколько зарабатывают ростовщики

    E математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

    Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). В 1919 году … Википедия

    Постоянная Эйлера Маскерони или постоянная Эйлера математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа: Константа введена Леонардом Эйлером в 1735, который предложил… … Википедия

    Константа: Постоянная Математическая Физическая Константа (в программировании) Константа диссоциации кислоты Константа равновесия Константа скорости реакции Константа (Остаться в живых) См. также Констанция Констанций Константин Констант… … Википедия

    В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности. Общая теория относительности … Википедия

    В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности. Общая теория относительности Математическая формулировка ОТО Космология Фундаментальные идеи … Википедия

    Теория деформируемого пластичного твердого тела, в к рой исследуются задачи, состоящие в определении полей вектора перемещений и(х, t).или вектора скоростей v(x,t), тензора деформации eij(х, t).или скоростей деформации vij(x, t).и тензора… … Математическая энциклопедия

    Магический, или волшебный квадрат это квадратная таблица, заполненная n2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он … Википедия

3D-модель эндоплазматической сети эукариотической клетки с рампами Терасаки, которые соединяют плоские листы мембраны

В 2013 году группа молекулярных биологов из США исследовали очень интересную форму эндоплазматической сети - органоида внутри эукариотической клетки. Мембрана этого органоида состоит из плоских листов, соединённых спиральными «пандусами», словно рассчитанными в программе 3D-моделирования. Это так называемые рампы Терасаки. Спустя три года работу биологов заметили астрофизики. Они были поражены: ведь точно такие структуры присутствуют внутри нейтронных звёзд. Так называемая «ядерная паста» состоит из параллельных листов, соединённых спиральными формами.

Удивительное структурное сходство живых клеток и нейтронных звёзд - откуда оно взялось? Очевидно же, что между живыми клетками и нейтронными звёздами нет прямой связи. Просто совпадение?

Модель спиральных соединений между плоскими листами мембраны в эукариотической клетке

Есть предположение, что законы природы действуют на все объекты микро- и макромира таким образом, что некоторые наиболее оптимальные формы и конфигурации проявляются как будто сами собой. Другими словами, объекты физического мира подчиняются скрытым математическим законам, лежащем в основе всего мироздания.

Посмотрим ещё на несколько примеров, которые подтверждают эту теорию. Это примеры, когда разные по сути материальные объекты проявляют схожие свойства.

Например, впервые наблюдаемые в 2011 году акустические чёрные дыры проявляют такие же свойства, какими в теории должны обладать настоящие чёрные дыры. В первой экспериментальной акустической чёрной дыре бозе-эйнштейновский конденсат из 100 тыс. атомов рубидия раскрутили до сверхзвуковой скорости таким образом, что отдельные части конденсата преодолели звуковой барьер, а соседние - нет. Граница этих частей конденсата моделировала горизонт событий чёрной дыры, где скорость потока в точности равна скорости звука. При температурах около абсолютного нуля звук начинает вести себя как квантовые частицы - фононы (вымышленная квазичастица олицетворяет собой квант колебательного движения атомов кристалла). Оказалось, что «звуковая» чёрная дыра поглощает частицы точно так же, как настоящая чёрная дыра поглощает фотоны. Таким образом, поток жидкости действует на звук так же, как настоящая чёрная дыра действует на свет. В принципе, звуковую чёрную дыру с фононами можно рассматривать как своеобразную модель настоящего искривления в пространстве-времени.

Если посмотреть шире на структурные сходства в различных физических явлениях, то можно увидеть в природном хаосе удивительный порядок. Все разнообразные природные феномены, по сути, описываются простыми базовыми правилами. Математическими правилами.

Взять фракталы. Это самоподобные геометрические формы, которые можно поделить на части так, что каждая часть хотя бы приблизительно является уменьшенной копией целого. Один из примеров - знаменитый папоротник Барнсли.

Папоротник Барнсли строится при помощи четырёх аффинных преобразований вида:

Данный конкретный лист сгенерирован со следующими коэффициентами:

В окружающей нас природе такие математические формулы встречаются повсеместно - в тучах, деревьях, горных грядах, кристалликах льда, мерцающем пламени, в морском побережье. Это примеры фракталов, структура которых описывается относительно простыми математическими вычислениями.

Галилео Галилей ещё в 1623 году говорил: «Вся наука записана в этой великой книге - я имею в виду Вселенную, - которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке математики, и её буквами являются треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного её слова; без них он подобен блуждающему во тьме».

На самом деле математические правила проявляют себя не только в геометрии и визуальных очертаниях природных объектов, но и в других законах. Например, в нелинейной динамике численности популяции, скорость прироста которой динамически снижается при приближению к естественному пределу экологической ниши. Или в квантовой физике.

Что касается самых известных математических констант - например, числа пи, - то вполне естественно, что оно широко встречается в природе, потому что соответствующие геометрические формы являются наиболее рациональными и подходящими для многих природных объектов. В частности, фундаментальной физической константой стало число 2π. Оно показывает, чему равен угол поворота в радианах, содержащийся в одном полном обороте при вращении тела. Соответствено, данная константа повсеместно встречается в описании вращательной формы движения и угла поворота, а также при математической интерпретации колебаний и волн.

Например, период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

В условиях вращения Земли плоскость колебаний маятника будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную направлению вращения Земли. Скорость вращения плоскости колебаний маятника зависит от его географической широты.

Число пи является составной частью постоянной Планка - основной константы квантовой физики, которая связывает две системы единиц - квантовую и традиционную. Она связывает величину кванта энергии любой линейной колебательной физической системы с её частотой.

Соответственно, число пи входит в фундаментальный постулат квантовой механики - принцип неопределённости Гейзенберга.

Число пи используется в формуле постоянной тонкой структуры - ещё одной фундаментальной физической постоянной, характеризующей силу электромагнитного взаимодействия, а также в формулах гидромеханики и т.д.

В природном мире можно встретить и другие математические константы. Например, число e , основание натурального логарифма. Эта константа входит в формулу нормального распределения вероятностей, которое задаётся функцией плотности вероятности:

Нормальному распределению подчиняется множество природных явлений, в том числе многие характеристики живых организмов в популяции. Например, распределение размеров организмов в популяции: длина, рост, площадь поверхности, вес, артериальное давление у людей и многое другое.

Пристальное наблюдение за окружающим миром показывает, что математика - вовсе не сухая абстрактная наука, как может показаться на первый взгляд. Совсем наоборот. Математика - это основа всего живого и неживого мира вокруг. Как верно заметил Галилео Галилей, математика - это язык, на котором с нами говорит природа.

Число Архимеда

Чему равно: 3,1415926535… На сегодня просчитано до 1,24 трлн знаков после запятой

Когда праздновать день π - единственная константа, у которой есть свой праздник, и даже два. 14 марта, или 3.14, соответствует первым знакам в записи числа. А 22 июля, или 22/7 - не что иное, как грубое приближение π дробью. В университетах (например, на мехмате МГУ) предпочитают отмечать первую дату: она, в отличие от 22 июля, не попадает на каникулы

Что такое π? 3,14, число из школьных задач про окружности. И в то же время - одно из главных чисел в современной науке. Физикам π обычно нужно там, где об окружностях ни слова, - скажем, чтобы смоделировать солнечный ветер или взрыв. Число π встречается в каждом втором уравнении - можно открыть учебник теоретической физики наугад и выбрать любое. Если учебника нет, сойдет карта мира. Обычная река cо всеми ее изломами и изгибами в π раз длиннее, чем путь напрямик от ее устья к истоку.

В этом виновато само пространство: оно однородно и симметрично. Именно поэтому фронт взрывной волны - это шар, а от камней на воде остаются круги. Так что π здесь оказывается вполне уместным.

Но все это относится только к привычному евклидовому пространству, в котором мы все живем. Будь оно не­евклидовым, симметрия была бы другой. А в сильно искривленной Вселенной π уже не играет такой важной роли. Скажем, в геометрии Лобачевского окружность бывает вчетверо длиннее своего диаметра. Соответственно реки или взрывы «кривого космоса» потребовали бы других формул.

Числу π столько же лет, сколько всей математике: около 4 тысяч. Старейшие шумерские таблички приводят для него цифру 25/8, или 3,125. Ошибка - меньше процента. Вавилоняне абстрактной математикой особо не увлекались, так что π вывели опытным путем, просто измеряя длину окружностей. Кстати, это первый эксперимент по численному моделированию мира.

Самой изящной из арифметических формул для π больше 600 лет: π/4=1–1/3+1/5–1/7+… Простая арифметика помогает вычислить π, а само π - разобраться с глубинными свойствами арифметики. Отсюда его связь с вероятностями, простыми числами и многим другим: π, например, входит в известную «функцию ошибок», которая одинаково безотказно работает и в казино, и у социологов.

Есть даже «вероятностный» способ сосчитать саму константу. Во-первых, нужно запастись мешком иголок. Во-вторых, бросать их, не целясь, на пол, расчерченный мелом на полосы шириной в иглу. Потом, когда мешок опустеет, поделить число брошенных на количество тех, что пересекли меловые линии, - и получить π/2.

Хаос

Константа Фейгенбаума

Чему равно: 4,66920016…

Где применяется: В теории хаоса и катастроф, с помощью которых можно описывать любые явления - от размножения кишечной палочки до развития российской экономики

Кто и когда открыл: Американский физик Митчелл Фейгенбаум в 1975 году. В отличие от большинства других открывателей констант (Архимеда, например), он жив и преподает в престижном Рокфеллеровском университете

Когда и как праздновать день δ: Перед генеральной уборкой

Что общего у капусты брокколи, снежинок и елки? То, что их детали в миниатюре повторяют целое. Такие объекты, устроенные как матрешка, называют фракталами.

Фракталы возникают из беспорядка, как картинка в калейдоскопе. Математика Митчелла Фейгенбаума в 1975 году заинтересовали не сами узоры, а хаотические процессы, которые заставляют их появляться.

Фейгенбаум занимался демографией. Он доказал, что рождение и смерть людей тоже можно моделировать по фрактальным законам. Тут у него и появилась эта δ. Константа оказалась универсальной: она встречается в описании сотен других хаотических процессов, от аэродинамики до биологии.

С фрактала Мандельброта (см. рис.) началось повсеместное увлечение этими объектами. В теории хаоса он играет примерно ту же роль, что и круг в обычной геометрии, а число δ фактически задает его форму. Получается, что эта константа - то же π, только для хаоса.

Время

Число Непера

Чему равно: 2,718281828…

Кто и когда открыл: Джон Непер, шотландский математик, в 1618 году. Самого числа он не упоминал, зато выстроил на его основе свои таблицы логарифмов. Одновременно кандидатами в авторы константы считаются Якоб Бернулли, Лейбниц, Гюйгенс и Эйлер. Достоверно известно только то, что символ e взялся из фамилии последнего

Когда и как праздновать день e: После возврата банковского кредита

Число е - тоже своего рода двойник π. Если π отвечает за пространство, то е - за время, и тоже проявляет себя почти всюду. Скажем, радиоактивность полония-210 уменьшается в е раз за средний срок жизни одного атома, а раковина моллюска Nautilus - это график степеней е, обернутый вокруг оси.

Число е встречается и там, где природа заведомо ни при чем. Банк, обещающий 1% в год, за 100 лет увеличит вклад примерно в е раз. Для 0,1% и 1000 лет результат будет еще ближе к константе. Якоб Бернулли, знаток и теоретик азартных игр, вывел е именно так - рассуждая о том, сколько зарабатывают ростовщики.

Как и π, е - трансцендентное число. Говоря проще, его нельзя выразить через дроби и корни. Есть гипотеза, что у таких чисел в бесконечном «хвосте» после запятой встречаются все комбинации цифр, какие только возможны. Например, там можно обнаружить и текст этой статьи, записанный двоичным кодом.

Свет

Постоянная тонкой структуры

Чему равно: 1/137,0369990…

Кто и когда открыл: Немецкий физик Арнольд Зоммерфельд, аспирантами которого были сразу два нобелевских лауреата - Гейзенберг и Паули. В 1916 году, еще до появления настоящей квантовой механики, Зоммерфельд ввел константу в рядовой статье про «тонкую структуру» спектра атома водорода. Роль константы вскоре переосмыслили, а вот название осталось прежним

Когда праздновать день α: В День электрика

Скорость света - величина исключительная. Быстрее, показал Эйнштейн, не могут двигаться ни тело, ни сигнал - будь то частица, гравитационная волна или звук внутри звезд.

Вроде бы ясно, что это - закон вселенской важности. И все-таки скорость света - не фундаментальная константа. Проблема в том, что ее нечем измерить. Километры в час не годятся: километр определен как расстояние, которое свет проходит за 1/299792,458 секунды, то есть сам выражается через скорость света. Платиновый эталон метра - тоже не выход, потому что скорость света входит и в уравнения, которые описывают платину на микроуровне. Словом, если скорость света без лишнего шума изменится во всей Вселенной, человечество об этом не узнает.

Вот тут-то на помощь физикам и приходит величина, связывающая скорость света с атомными свойствами. Константа α - это деленная на скорость света «скорость» электрона в атоме водорода. Она безразмерна, то есть не привязана ни к метрам, ни к секундам, ни к каким-либо еще единицам.

Кроме скорости света в формулу для α входят также заряд электрона и константа Планка, мера «квантовости» мира. С обеими постоянными связана та же проблема - их не с чем сверить. А вместе, в виде α, они являют собой что-то вроде залога постоянства Вселенной.

Можно задаться вопросом, не менялась ли α c начала времен. Физики всерьез допускают «дефект», достигавший когда-то миллионных долей от нынешней величины. Достигни он 4%, человечества не было бы, потому что внутри звезд прекратился бы термоядерный синтез углерода, главного элемента живой материи.

Добавка к реальности

Мнимая единица

Чему равно: √-1

Кто и когда открыл: Итальянский математик Джероламо Кардано, друг Леонардо да Винчи, в 1545 году. Карданный вал назван так именно в его честь. По одной из версий, свое открытие Кардано украл у Никколо Тартальи, картографа и придворного библиотекаря

Когда праздновать день i: Мартобря 86 числа

Число i ни константой, ни даже настоящим числом назвать нельзя. Учебники описывают его как величину, которая, будучи возведенной в квадрат, дает минус один. Другими словами, это сторона квадрата с отрицательной площадью. В реальности такого не бывает. Но иногда из нереального тоже можно извлечь пользу.

История открытия этой постоянной такова. Математик Джероламо Кардано, решая уравнения с кубами, ввел мнимую единицу. Это был просто вспомогательный трюк - в итоговых ответах i не было: результаты, которые его содержали, выбраковывались. Но позже, присмот­ревшись к своему «мусору», математики попробовали пустить его в дело: умножать и делить обычные числа на мнимую единицу, складывать результаты друг с другом и подставлять в новые формулы. Так родилась теория комплексных чисел.

Минус в том, что «реальное» с «нереальным» нельзя сравнивать: сказать, что больше - мнимая единица или 1 - не получится. С другой стороны, неразрешимых уравнений, если воспользоваться комплексными числами, практически не остается. Поэтому при сложных расчетах удобнее работать с ними и только в самом конце «вычищать» ответы. Например, чтобы расшифровать томограмму мозга, без i не обойтись.

Физики именно так обращаются с полями и волнами. Можно даже считать, что все они существуют в комплексном пространстве, а то, что мы видим, - только тень «настоящих» процессов. Квантовая механика, где и атом, и человек - волны, делает такую трактовку еще убедительнее.

Число i позволяет свести в одной формуле главные математические константы и действия. Формула выглядит так: e πi +1 = 0, и некоторые говорят, что такой сжатый свод правил математики можно отправлять инопланетянам, чтобы убедить их в нашей разумности.

Микромир

Масса протона

Чему равно: 1836,152…

Кто и когда открыл: Эрнест Резерфорд, физик родом из Новой Зеландии, в 1918 году. За 10 лет до этого получил Нобелевскую премию по химии за изучение радиоактивности: Резерфорду принадлежат понятие «период полураспада» и сами уравнения, описывающие распад изотопов

Когда и как праздновать день μ: В День борьбы с лишним весом, если такой введут - это соотношение масс двух базовых элементарных частиц, протона и электрона. Протон - не что иное, как ядро атома водорода, самого распространенного элемента во Вселенной.

Как и в случае скорости света, важна не сама величина, а ее безразмерный эквивалент, не привязанный к каким-то единицам, то есть во сколько раз масса протона больше массы электрона. Получается примерно 1836. Без такой разницы в «весовых категориях» заряженных частиц не было бы ни молекул, ни твердых тел. Впрочем, атомы бы остались, но вели бы себя совсем по-другому.

Как и α, μ подозревают в медленной эволюции. Физики изучали свет квазаров, дошедший до нас через 12 млрд лет, и обнаружили, что протоны со временем тяжелеют: разница между доисторическим и современным значениями μ составила 0,012%.

Темная материя

Космологическая константа

Чему равно: 110-²³ г/м3

Кто и когда открыл: Альберт Эйнштейн в 1915 году. Сам Эйнштейн называл ее открытие своим «главным промахом»

Когда и как праздновать день Λ: Ежесекундно: Λ, согласно определению, присутствует всегда и везде

Космологическая константа - самая туманная из всех величин, какими оперируют астрономы. С одной стороны, ученые не до конца уверены в ее существовании, с другой - готовы объяснять с ее помощью, откуда взялась большая часть массы-энергии во Вселенной.

Можно сказать, что Λ дополняет константу Хаббла. Они соотносятся как скорость и ускорение. Если Н описывает равномерное расширение Вселенной, то Λ - непрерывно ускоряющийся рост. Первым ее ввел в уравнения общей теории относительности Эйнштейн, когда заподозрил у себя ошибку. Его формулы указывали, что космос либо расширяется, либо сжимается, а в это было сложно поверить. Новый член понадобился, чтобы устранить выводы, казавшиеся неправдоподобными. После открытия Хаббла Эйнштейн от своей константы отказался.

Вторым рождением, в 90-х годах прошлого века, постоянная обязана идее темной энергии, «спрятанной» в каждом кубическом сантиметре пространства. Как следовало из наблюдений, энергия неясной природы должна «расталкивать» пространство изнутри. Грубо говоря, это микроскопический Большой взрыв, происходящий каждую секунду и повсеместно. Плотность темной энергии - это и есть Λ.

Гипотезу подтвердили наблюдения за реликтовым излучением. Это доисторические волны, родившиеся в первые секунды существования космоса. Астрономы считают их чем-то вроде рентгена, просвечивающего Вселенную насквозь. «Рентгенограмма» и показала, что темной энергии в мире 74% - больше, чем всего остального. Однако так как она «размазана» по всему космосу, получается всего 110-²³ грамма на кубический метр.

Большой взрыв

Постоянная Хаббла

Чему равно: 77 км/с /МПс

Кто и когда открыл: Эдвин Хаббл, отец-основатель всей современной космологии, в 1929 году. Чуть раньше, в 1925-м, он первым доказал существование других галактик за пределами Млечного пути. Соавтор первой статьи, где упоминается константа Хаббла, - некто Милтон Хьюмасон, человек без высшего образования, работавший в обсерватории на правах лаборанта. Хьюмасону принадлежит первый снимок Плутона, тогда еще не открытой планеты, из-за дефекта фотопластинки оставленный без внимания

Когда и как праздновать день H: 0 января. С этого несущест­вующего числа астрономические календари начинают отсчет Нового года. Как и о самом моменте Большого взрыва, о событиях 0 января известно мало, что делает праздник вдвойне уместным

Главная константа космологии - мера скорости, с которой расширяется Вселенная в результате Большого взрыва. И сама идея, и постоянная H восходят к выводам Эдвина Хаббла. Галактики в любом месте Вселенной разбегаются друг от друга и делают это тем быстрее, чем больше расстояние между ними. Знаменитая константа - просто коэффициент, на который умножают дистанцию, чтобы получить скорость. Со временем она меняется, но довольно медленно.

Единица, деленная на H, дает 13,8 млрд лет - время, прошедшее с момента Большого взрыва. Эту цифру первым получил сам Хаббл. Как доказали позднее, метод Хаббла был не совсем верен, но все равно он ошибся меньше чем на процент, если сравнивать с современными данными. Ошибка отца-основателя космологии состояла в том, что он считал число Н постоянным с начала времен.

Сферу вокруг Земли радиусом 13,8 млрд световых лет - скорость света, деленная на константу Хаббла, - называют хаббловской сферой. Галактики за ее границей должны «убегать» от нас со сверхсветовой скоростью. Противоречия с теорией относительности здесь нет: стоит подобрать правильную систему координат в искривленном пространстве-времени, и проблема превышения скорости сразу исчезает. Поэтому за хаббловской сферой видимая Вселенная не заканчивается, ее радиус примерно втрое больше.

Гравитация

Планковская масса

Чему равно: 21,76… мкг

Где работает: Физика микромира

Кто и когда открыл: Макс Планк, создатель квантовой механики, в 1899 году. Планковская масса - это всего-навсего одна из набора величин, предложенных Планком в качестве «сис­темы мер и весов» для микромира. Определение, упоминающее черные дыры, - и сама теория гравитации - появились несколькими десятилетиями позже

Обычная река cо всеми ее изломами и изгибами в π раз длиннее, чем путь напрямик от ее устья к истоку

Когда и как праздновать день m p: В день открытия Большого адронного коллайдера: микроскопические черные дыры собираются получать именно там

Якоб Бернулли, знаток и теоретик азартных игр, вывел e, рассуждая о том, сколько зарабатывают ростовщики

Подбирать явлениям теорию по размеру - популярный в XX веке подход. Если элементарная частица требует квантовой механики, то нейтронная звезда - уже теории относительности. Ущербность такого отношения к миру была понятна с самого начала, но единой теории всего так и не создали. Пока удалось примирить только три из четырех фундаментальных видов взаимодействия - электромагнитные, сильные и слабые. Гравитация все еще остается в стороне.

Поправка Эйнштейна и есть плотность темной материи, которая расталкивает космос изнутри

Планковская масса - условная граница между «большим» и «малым», то есть как раз между теорией гравитации и квантовой механикой. Столько должна весить черная дыра, размеры которой совпадают с длиной волны, отвечающей ей как микрообъекту. Парадокс заключается в том, что астрофизика трактует границу черной дыры как строгий барьер, за который не могут проникнуть ни информация, ни свет, ни вещество. А с квантовой точки зрения волновой объект будет равномерно «размазан» по пространству - и барьер вместе с ним.

Планкова масса - это масса личинки комара. Но пока гравита­ционный коллапс комару не грозит, квантовые парадоксы его не коснутся

mp - одна из немногих единиц в квантовой механике, которыми стоит измерять объекты в нашем мире. Столько может весить личинка комара. Другое дело, что пока гравитационный коллапс комару не грозит, квантовые парадоксы его не коснутся.

Бесконечность

Число Грэхема

Чему равно:

Кто и когда открыл: Рональд Грэхем и Брюс Ротшильд
в 1971 году. Статья была опубликована под двумя фамилиями, но популяризаторы решили сэкономить бумагу и оставили только первую

Когда и как праздновать день G: Очень нескоро, зато очень долго

Ключевая для этой конструкции операция - стрелки Кнута. 33 - это три в третьей степени. 33 - это три, возведенное в три, которое в свою очередь возведено в третью степень, то есть 3 27 , или 7625597484987. Три стрелки - это уже число 37625597484987, где тройка в лестнице степенных показателей повторяется именно столько - 7625597484987 - раз. Это уже больше числа атомов во Вселенной: тех всего 3 168 . А в формуле для числа Грэхема с такой же скоростью растет даже не сам результат, а количество стрелок на каждой стадии его подсчета.

Константа появилась в абстрактной комбинаторной задаче и оставила позади все величины, связанные с нынешними или будущими размерами Вселенной, планетами, атомами и звездами. Чем, похоже, лишний раз подтвердила несерьезность космоса на фоне математики, средствами которой тот может быть осмыслен.

Иллюстрации: Варвара Аляй-Акатьева

Формула связи фундаментальных физических констант

и структура времени и пространства.

(научный сотрудник НИАТ: группа по измерению гравитационной константы(G)).

(Данная статья есть продолжение работы автора над формулой связи фундаментальных физических констант (ФФК), которые автор опубликовал в статье (1*).Предложена модель объединения основных четырёх взаимодействий и новый взгляд на время и пространство. Статья также дополнена новыми данными основанные на значениях ФФК, полученных КОДАТА в 1998, 2002 и 2006 году.)

1) Введение.

2) Вывод формулы связи фундаментальных физических констант:

3) Объединение четырех основных видов взаимодействия:

4) Структура времени и пространства:

5) Практические доказательства формулы:

6) Математические доказательства формулы и её структурный анализ: и т. д.

8) Заключение.

1) Введение.

После неудачной разработки ранних моделей объединения гравитации и электромагнетизма установилось мнение, что прямой связи между фундаментальными физическими константами этих двух взаимодействий нет. Хотя полной проверки этого мнения проведено не было.

Для нахождения формулы связи между фундаментальными физическими константами электромагнитного и гравитационного взаимодействия был использован метод «последовательного логического подбора». (это выбор определённых вариантов формулы и констант для подстановки, исходя из установленных физических предпосылок и критериев).

В нашем случае были взяты следующие физические предпосылки и критерии выбора констант и вариантов формулы.

Предпосылки.

1. Характер взаимодействия электромагнитных и гравитационных сил достаточно близки, чтобы сделать предположение, что их константы взаимосвязаны:

2. Интенсивность гравитационного взаимодействия задают те частицы, которые одновременно участвуют и в электромагнитном взаимодействии.

Это: электрон, протон и нейтрон.

3. Выше указанные частицы задают структуру основного элемента во Вселенной – водорода , который в свою очередь, определяет внутреннюю структуру пространства и времени.

Как видно из вышесказанного (п. п.2,3) – взаимосвязанность гравитации и электромагнетизма заложена в самой структуре нашей Вселенной.

Критерии выбора.

1. Константы для подстановки в формулу должны быть безразмерны.

2. Константы должны удовлетворять физическим предпосылкам.

3..gif" width="36" height="24 src=">

4. Стабильная материя в основном состоит из водорода, а основная масса его задаётся массой протона. Поэтому, все константы должны соотноситься к массе протона , а соотношение масс электрона и протона https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_33.gif" width="215 height=25" height="25">

Где: - коэффициент, задаваемый слабым взаимодействием;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image019_28.gif" width="27" height="24 src=">- коэффициент, задаваемый ядерным взаимодействием.

По своей значимости, предложенная формула связи констант электромагнитного и гравитационного взаимодействия претендует на объединение гравитации и электромагнетизма, а при детальном рассмотрении элементов представленной формулы, - и на объединение всех четырёх видов взаимодействий.

Отсутствие теории числовых значений фундаментальных физических констант (ФФК)

потребовало найти математические и практические примеры, доказывающие истинность формулы связи фундаментальных физических констант электромагнитного и гравитационного взаимодействия.

Приведённые математические выводы претендуют на открытие в области теории ФФК и закладывают фундамент в понимании их числовых значений.

2) Вывод формулы связи фундаментальных физических констант.

Чтобы найти основное звено в формуле связи констант, надо ответить на вопрос: «почему гравитационные силы такие слабые по сравнению с электромагнитными силами?» Для этого рассмотрим наиболее распространённый элемент во Вселенной - водород. Он же определяет её основную видимую массу, задавая интенсивность гравитационного взаимодействия.

Электрические заряды электрона (-1) и протона (+1), образующие водород, равны по модулю; в то же время их «гравитационные заряды» различаются в 1836 раз. Такое различное положение электрона и протона для электромагнитного и гравитационного взаимодействия объясняет слабость гравитационных сил, а отношение их масс должно входить в искомую формулу связи констант.

Запишем наиболее простой вариант формулы с учётом предпосылок (п. п.2.3.) и критерием выбора (п. п. 1,2, 4):

Где: - характеризует интенсивность гравитационных сил.

Из данных на 1976г..gif" width="123" height="50 src=">

Найдём модуль «х»:

Найденное значение хорошо округляется до (12).

Подставив его, получим:

(1)

Найденное расхождение между левой и правой частью уравнения в формуле (1):

Для чисел со степенью «39» расхождении практически нет. Надо отметить, что эти числа безразмерны и не зависят от выбранной системы единиц.

Сделаем подставку в формулу (1), исходя из предпосылки (п.1) и критериев выбора (п. п. 1,3,5), которые указывают на присутствие в формуле константы, характеризующей интенсивность электромагнитного взаимодействия. Для этого найдём степени следующего соотношения:

где: https://pandia.ru/text/78/455/images/image029_22.gif" width="222 height=53" height="53">

Для х=2 у = 3,0549 т. е. у хорошо округляется до «3».

Запишем формулу (1) с подстановкой:

(2)

Найдём расхождение в формуле (2):

Использовав довольно простую подстановку, мы получили уменьшение расхождения. Это говорит о её истинности с точки зрения, построения формулы связи констант.

Из данных на 1976г, (2*) :

Так как , то необходимо дальнейшее уточнение формулы (2). На это указывают и предпосылки (п. п. 2,3), а также критерий выбора (п.5), где говорится о присутствии константы, характеризующей нейтрон.

Для подстановки его массы в формулу (2) необходимо найти степень следующего соотношения:

Найдём модуль z:

Округлив z до « 38», можно записать формулу (2) с уточняющей подстановкой:

(3)

Найдём расхождение в формуле (3):

С точностью ошибки, значение равно единице.

Отсюда можно сделать вывод, что формула (3) является окончательным вариантом искомой формулы связи фундаментальных физических констант электромагнитного и гравитационного взаимодействия.

Запишем эту формулу без обратных величин:

(4)

Найденная формула позволяет выражать фундаментальные физические константы гравитационного взаимодействия через константы электромагнитного взаимодействия.

3) Объединение четырех основных видов взаимодействия.

Рассмотрим формулу (4) с точки зрения критерия выбора «5».

Как и предполагали, искомая формула состоит из трёх коэффициентов:

Проанализируем каждый из коэффициентов.

Как видно, Первый коэффициент определяется тем, что слабое взаимодействие разделило лептоны и адроны на два класса частиц различными значениями масс:

Адроны – тяжёлые частицы

Лептоны – лёгкие частицы

Десятая степень в дроби https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_16.gif" width="21" height="21 src=">) отражает интенсивность электромагнитного взаимодействия, а степень «3» говорит о трёх-мерности того пространства времени, в котором существуют лептоны и адроны как частицы электромагнитного взаимодействия. По значимости, найденной формуле этот коэффициент занимает второе место.

Третий коэффициент Антиквариат" href="/text/category/antikvariat/" rel="bookmark">антикварков)умножить на 3цвета +1 глюон+1антиглюон=38 состояний

Как видно по степени «38», мерность пространства, в котором существуют кварки, как составные части протона и нейтрона равна тридцати восьми. По значимости, в найденной формуле этот коэффициент занимает третье место.

Если в числовых значениях коэффициентов взять порядки величин, то мы получим:

Подставим эти значения в формулу (4):

Каждый из коэффициентов по порядку величины задаёт интенсивность представленного им взаимодействия. Отсюда можно заключить, что формула (4) позволяет объединить все четыре вида взаимодействий и является основной формулой супер-объединения.

Найденный вид формулы и значения степеней показывают, что единое взаимодействие для каждого взаимодействия задаёт своё значение мерности пространства и времени.

Неудачные попытки объединить все четыре взаимодействия объясняются тем, что предполагалась одинаковая мерность пространства для всех видов взаимодействий.

Из этого предположения вытекал и общий ошибочный подход объединения:

слабое взаимодействие + электромагнитное взаимодействие + ядерное взаимодействие + гравитационное взаимодействие = единое взаимодействие.

А, как мы видим, единое взаимодействие задаёт мерность пространства и времени

для каждого вида взаимодействий.

Из этого вытекает и «новый подход» в объединении взаимодействий:

1-й этап - слабое взаимодействие в десяти-мерном пространстве:

Электромагнитное взаимодействие в трёх-мерном пространстве времени:

Ядерное взаимодействие в тридцативосьми-мерном пространстве:

2-й этап – грав.1 + грав. 2 + грав. 3 = грав. = единое взаимодействие.

Найденная формула связи констант и отражает этот «новый подход», являясь основной формулой 2-го этапа, объединяя все четыре вида взаимодействий в одно единое взаимодействие.

«Новый подход» требует и другого взгляда на гравитацию, взгляда как на структуру, состоящую из четырёх « слоёв»:

Причём, у каждого «слоя» есть свой носитель взаимодействия: X Y Z G

(возможно эти носители связаны с темной материей и темной энергией).

Подведем итоги по формуле связи фундаментальных физических констант (ФФК):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image003_129.gif" width="115" height="46"> константа характеризует гравитационное взаимодействие.

(основная масса вещества во Вселенной задается массой протона, поэтому гравитационная константа задается взаимодействием протонов между собой).

Константа характеризует слабое взаимодействие.

(именно слабое взаимодействие задает различие между электроном и протоном, а соотношение и различие их масс дает основной вклад в слабость гравитационных сил по сравнению с другими взаимодействия).

Константа характеризует электромагнитное взаимодействие.

(электромагнитное взаимодействие через заряд дает свой вклад в формуле).

константа характеризует ядерное взаимодействие.

(ядерное взаимодействие задает различие между нейтроном и протоном и отражает специфику этого взаимодействия: (6 кварков+6 антикварков)умножить на 3цвета +1 глюон+1антиглюон=38 состояний

Как видно по степени «38», мерность пространства, в котором существуют кварки, как составные части протона и нейтрона равна тридцати восьми).

4)Структура времени и пространства.

Новое понимание гравитации, даёт и новое понимание времени, как многомерного качества. Существование трёх видов энергии (1»потенциальная энергия 2»кинетическая энергия 3»энергия массы покоя) говорит о трёх-мерности времени.

Взгляд на время, как на трёх-мерный вектор переворачивает наши представления о времени, как о скаляре и требует замены всей интегрально - дифференциальной алгебры и физике, где время представлено скаляром.

Если раньше для создания «машины времени», (а это, говоря языком математики,- изменить направление движения времени на противоположное, или предать значению времени знак минус), необходимо было пройти через « 0 » времени, то теперь, подходя ко времени как к вектору, - для изменения направления на противоположное, необходимо просто повернуть вектор времени на 180 градусов, а это не требует оперировать неопределённостью « 0 » времени. Значит, после создания устройства поворота вектора времени, становится реальностью создание «машины времени».

Всё выше изложенное заставляет пересмотреть закон причинности, а, значит, - закон сохранения энергии, а стало быть – и другие фундаментальные законы физики (все эти законы «страдают» одномерностью).

Если формула (4) позволяет объединить все четыре основных вида взаимодействия

то она должна отражать структуру времени и пространства:

Степени в формуле (4) отражают мерность времени и пространства в котором существует четыре основных взаимодействия.

Перепишем (4): (4а)

что если время это мера изменчивости системы то гравитация (формула Ньютона) и электромагнетизм (формула Кулона) = несут характеристики времени.

Слабое и ядерное взаимодействие, коротко действующие и потому несут свойства пространства.

Формула (4а) показывает что:

А) есть два времени: внутренние и внешние

(причем они взаимно зациклены друг на друге образуя единый круг)

Гравитация отражает внешние время

общей мерностью(+1) =

Электромагнетизм отражает внутренние время

общей мерностью (+3)=

Б) и есть два пространства: внутренние и внешние

(причем они взаимно проникают друг в друга)

Слабое взаимодействие отражает внешние пространства

общей мерностью(+10) =

Ядерное взаимодействие отражает внутренние пространство

общей мерностью (+38)=

5) Практические доказательства формулы.

Отсутствие абсолютно строгого вывода формулы (4) требует практического примера её проверки. Таким примером является расчёт значения постоянной тяготения:

(5)

В формуле (5), самая большая погрешность – у постоянной тяготения: https://pandia.ru/text/78/455/images/image067_14.gif" width="62 height=24" height="24">. Исходя из этого можно найти G с большей точностью, чем табличное значение

Расчетное значение

(данные КОДАТА (ФФК) на 1976г):

Как видно, найденное значение входит в интервал + табличного значения и в 20 раз улучшает его. Исходя из полученного результата, можно предсказать, что табличное значение занижено. Это подтверждается новым, более точным, - значением G, принятым в 1986 г. (3*)

данные КОДАТА (ФФК) на 1986г: Табличное https://pandia.ru/text/78/455/images/image072_12.gif" width="332" height="51">

Получили значение, - в 40 раз более точное и входящее в интервал + 2, 3https://pandia.ru/text/78/455/images/image074_13.gif" width="307" height="51 src=">

Расчетное на больше

Расчетное на больше

данные КОДАТА (ФФК) на 2006г Табличное

Расчетное на больше

Сравним табличные значения :

данные КОДАТА (ФФК) на 1976г Табличное https://pandia.ru/text/78/455/images/image082_12.gif" width="79" height="21 src=">

данные КОДАТА (ФФК) на 1986г Табличное https://pandia.ru/text/78/455/images/image083_13.gif" width="80" height="21 src=">

данные КОДАТА (ФФК) на 1998г Табличное https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_12.gif" width="79" height="21 src=">

данные КОДАТА (ФФК) на 2002г Табличное

на 2006г..gif" width="325" height="51">

Значение с1976г. по 2006г. почему, постоянно возрастает, а точность так и осталась на уровне ,причем1986г на больше2006г. Это говорит о том что существует неучтенный скрытый параметр в формуле Ньютона.

Сравним рассчитанные значения :

данные КОДАТА (ФФК) на 1976г Расчетное

на 1986г..gif" width="332" height="51">

на 1998г..gif" width="340" height="51">

на 2002г..gif" width="332" height="51">

на 2006г..gif" width="328" height="51"> (6)

Самосогласованность (с точки зрения статистики) при росте точности

в133 раза (!!!) с до рассчитанных значений G

говорит о пригодности формулы в дальнейших уточняющих расчётах G. Если рассчитанное значение (6) в будущем подтвердится, то это будет доказательством истинности формулы (4).

6) Математические доказательства формулы и её структурный анализ.

Написав математическое равенство, - выражение (4), мы должны предположить, что константы, входящие в него, должны быть рациональными числами (это и есть наше условие строгого алгебраического равенства): в противном случае, если они иррациональны или трансцендентны, - уравнять формулу (4) не удастся, а, значит, - и написать математическое равенство.

Вопрос о трансцендентности значений констант снимается после того, как, заменив h на в формуле (4), - равенства добиться, не удаётся (использование в физике и было тем роковым заблуждением, которое не позволяло найти формулу связи констант (4; 5). Нарушение строгого равенства при подстановке трансцендентного числа доказывает и правильность выбранного условия равенства к формуле (4), а значит, и рациональность ФФК.)

Рассмотрим одно из числовых значений, полученное при расчёте формулы (5):

данные КОДАТА (ФФК) на 1986г

Случайная последовательность трех нулей мало вероятна, поэтому это период простой рациональной дроби: (7)

Значение этой дроби входит в интервал 0,99 рассчитанного значения. Так как, представленная дробь взята целиком из формулы (5), то можно предсказать, что значение отношения массы протона к массе электрона в десятой степени, будет сходиться к значению (7). Это подтверждается новыми данными на 1998 г:

данные КОДАТА (ФФК) на 1998г

Новое рассчитанное значение находится ближе (а, значит, - сходится) к точному значению: https://pandia.ru/text/78/455/images/image073_13.gif" width="25 height=22" height="22">

Доказанная сходимость говорит о точном равенстве формулы (4), это значит, что данная формула является окончательным вариантом и дальнейшему уточнению не подлежит, как в физическом, так и в математическом смысле слова.

На основании этого можно сделать утверждение, претендующее на открытие:

ЗНАЧЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ КОНСТАНТ (ФФК) В СТЕПЕНЯХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ФОРМУЛЕ , СХОДЯТСЯ К ПРОСТЫМ РАЦИОНАЛЬНЫМ ДРОБЯМ И ВЫРАЖАЮТСЯ ДРУГ ЧЕРЕЗ ДРУГА ПО ФОРМУЛЕ (5).

Это подтверждается и тем, что новые значения отношение масс нейтрона и протона вскрыли период в следующей дроби:

данные КОДАТА (ФФК) на 1998г

данные КОДАТА (ФФК) на 2002г

Налицо сходимость к числу: (8)

Основываясь на первых найденных значениях (7; 8) и интуитивном представлении о простой структуре построений в природе, можно предположить, что значение простых чисел, входящих в дроби в формуле (4) - порядка «10000»:

Другая интересная сходимость была найдена в левой части формулы (4) : https://pandia.ru/text/78/455/images/image109_10.gif" width="422" height="46">

данные КОДАТА 1998г:

данные КОДАТА 2002г:

данные КОДАТА 2006г:

Налицо сходимость к числу: (9)

Можно найти более точное значение:

Оно входит в интервал +0,28значения КОДАТА на 2006г и в 25 раз точнее:

Подставим найденные числа (7) и (8) в формулу :

С права у нас крупное простое число 8363 оно должно присутствовать и с лева в верней части формулы поэтому разделим:

2006г:https://pandia.ru/text/78/455/images/image114_9.gif" width="40 height=28" height="28">:

Данные по формуле:

Ограниченность в точности табличных значений не позволяет прямым расчётом найти точные числовые значения, к которым сходятся ФФК в формуле (5); исключением являются значения констант (7; 8; 9). Но эту трудность можно обойти, если использовать математические свойства простых рациональных дробей в десятичной записи - проявлять периодичность в числах последних знаков, для числа() это период …отсюда можно найти: https://pandia.ru/text/78/455/images/image126_10.gif" width="361" height="41 src=">подставим

https://pandia.ru/text/78/455/images/image129_9.gif" width="586" height="44 src=">.gif" width="215" height="45">

Можно найти более точное h :

Оно входит в интервал +0,61значения КОДАТА на 2006г и в 8,2 раз точнее:

7) Нахождение точных значений ФФК в формуле (4 и 5).

Напишем точные значения ФФК которые мы уже нашли:

А =https://pandia.ru/text/78/455/images/image137_8.gif" width="147 height=57" height="57"> В =

Г =https://pandia.ru/text/78/455/images/image140_8.gif" width="249" height="41">

Е =https://pandia.ru/text/78/455/images/image142_8.gif" width="293" height="44">

Кроме https://pandia.ru/text/78/455/images/image144_9.gif" width="31" height="24">, точное значение которых мы ещё не знаем. Запишем «С» с той точностью, с которой она нам известна:

На первый взгляд периода нет, но надо отметить, что это, по формуле (4) и по построению точных числах Е и Ж - рациональное число, так как она представлены в них в первых степенях. Значит, - период скрыт и для того, чтобы он проявился – надо до множить эту константу на определённые числа. Для этой константы эти числа являются «основными делителями»:

Как видно, период (С) составляет «377».Отсюда можно найти точное значение, к которому сходятся значения этой константы:

Оно входит в интервал +0,94значения КОДАТА на 1976г.

После усреднения получили:

(данные КОДАТА (ФФК) на 1976г)

Как можно видеть, найденное значение скорости света находится в хорошем соответствии с самым точным - первым значением. Это является доказательством правильности метода «поиска рациональности в значениях ФФК »

(До множим самое точное на «3»: 8,. Появился чистый период «377»).

Надо сказать, что наличие прямой связи между фундаментальными физическими константами (формула (4)) делает невозможным произвольный выбор значения одной из них, так как это приведёт к сдвигу в значениях других констант.

Выше сказанное относится и к скорости света, значение которой было принято в 1983 г.

точным целым значением: https://pandia.ru/text/78/455/images/image154_8.gif" width="81" height="24"> и создает неучтенный сдвиг в значениях ФФК)

Это действие и математически - некорректно, так как никто не доказал, что значение

скорости света не является иррациональным или трансцендентным числом.

Тем более, - принимать его целым – преждевременно.

(Скорее всего – этим вопросом никто и не занимался и «С» принимали «целым» по небрежности).

Пользуясь формулой (4), можно показать, что скорость света есть РАЦИОНАЛЬНОЕ число, однако, - НИКАК НЕ ЦЕЛОЕ.

Естественные на уки

Физико-математические науки Математика

Математический анализ

Шелаев А.Н., доктор физико-математических наук, профессор, НИИ ядерной физики им. Д.В. Скобельцына, МГУ им. М.В. Ломоносова

ТОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ КОНСТАНТАМИ

Проблемы нахождения и интерпретации точных соотношений между фундаментальными математическими константами (ФМК), прежде всего П, е, константами зо-

лотой пропорции ф = (-1 + V5) /2 □ 0,618, ф = ф + 1 = (1 + «s/5)/2 , константой Эйле-

1/k _lnn) = _l e lnxdx □ 0,577, постоянной Каталана n^да k= J 0

G = Z"=o(_1)n / (2n +1)2 = |oX-1 arctg X dx □ 0,915, мнимой единицей i = 1

В данной статье сообщается о нахождении различных типов точных соотношений между ФМК, в т. ч. между алгебраическими и трансцендентными.

Начнём с констант золотой пропорции ф, ф. Помимо приведённых выше исходных выражений для них можно получить иные определения, напр., как предел последовательности, непрерывную дробь, сумму вложенных радикалов:

ф= lim xn, где xn = 1/(1 + xn_1), x0 = 1, n = 1,2,3,... (1)

ф = 1/2 + lim xn, где xn = 1/8_x2_1 /2, x0 = 1/8, n = 1,2,3,... (2)

ф = ф + 1 = 1 +--(3)

ф = ф +1 = 1 + 1 + yf[ + yl 1 +... (4)

Отметим, что в (1), (3) Хп и конечные дроби выражаются через отношение 2-х последовательных чисел Фибоначчи Бп = 1,1,2,3,5,8,.... В итоге получаем:

гп/гп+1, Ф = А

ф= lim Fn /Fn+1, Ф = ХГ=1(_1)П+1/(Рп-Fn+1) (5)

соотношениями:

Связь между константами ф, ф, П и 1 = определяется

б1п(1 1п ф) = 1 / 2, вт(л /2 - Ни ф) = (ф + ф)/2 (6)

ф = ^ 1+ W1 + (Ф + iW1 + (Ф + 2)Vi+T7

Учитывая, что ф-ф = 1 получаем следующее выражение для п(ф) :

п = 4 - arctg[ф - ^ 1 + ф^/ 1 + (ф +1)^1 + (Ф + 2^л/Г+ТГГ ]

Для констант ф, ф были получены и конечные выражения в трансцендентной форме, приводящиеся, естественно, к алгебраическим выражениям, напр.:

ф = 2 - sin(n /10) = tg (9)

Ф = 2 - cos(n / 5) = tg[(n - arctg(2)) / 2] (10)

Константу П можно определить и, напр., такими соотношениями:

П = 4-X°°=0(-1)n/(2n +1) = lim 2n 22+ >/2 + V2 + ---V2 (11)

При этом в (11) число радикалов внутри предела равно n . Кроме того, следует отметить,

что \/ 2 + v 2 + 2 +----= 2 (!) при бесконечном числе радикалов.

Для константы П был получен также целый ряд тригонометрических соотношений, связывающих её с другими константами, напр.:

п = 6 - arcsin = 3 - arccos (12)

п = 10 - arcsin(ф /2) = 10 - arccos^5 - ф / 2) (13)

п = 4 - (14)

п = 4 - (15)

п = 4 - (16)

п = 4 - (17)

Константу e также можно определить различными выражениями, напр.,:

e = lim(1 + x)1/x = lim n/^n! = yj(A + 1)/(A-1), где A = 1 +-Ц- (18)

x -n -да 3 + 1

Связь константы e с другими ФМК можно осуществить, прежде всего, через 2-й замечательный предел, формулы Тейлора и Эйлера:

e = lim [(2/ п) arctgx]-nx/2 = lim (tgx)-tg2x = lim(2 - x)(n/2>tgnx/2 (19) x-да x-п/4 x-1

e = lim (1 + p/n)n/p, p = п, ф, Ф, C, G (20)

e = p1/L, где L = lim n (p1/n -1), p = п, ф, Ф,С^ (21)

e = 1/p, p = п, Ф, Ф, С, G (22)

eip = cos(p) + i sin(p), i = V-Y, p = п, ф, Ф, С, G (23)

Большое число точных соотношений между ФМК может быть получено с помощью интегральных соотношений, напр., таких:

л/п = 2^2p j cos(px2)dx = 2^/2p j sin(px2)dx, p = e^, ф,С, G (24) J 0 » 0

п = Vp j0dx/(1 ±p cosx), p = e, ф, ф, С, G (25)

G = nln2/2-j 0ln(1 + x2)/(1 + x2)dx = -nln2/2-j0/4ln(sinx) dx (26)

С = -ln4 -4п 1/2 j 0 exp(-x2)lnxdx (27)

С = jда / x dx - ln(b / p), p, b = n,e, ф, ф, G (28) 0

Существенно, что в соотношении (28) постоянная Эйлера С может быть выражена не через одну, а через две ФМК р, Ь.

Интересно также, что из соотношения, связывающего П с другими ФМК,

(п/p)/sin(n/p) = j0 dx/(1 + xp), p = e,ф,ф,C,G (29)

можно получить новое определение 1-го замечательного предела:

lim(n/p)/sin(n/p)= lim j dx/(1 + x) = 1 (30)

В ходе исследований было найдено также большое число интересных приближённых соотношений между ФМК. Напр., таких:

С□ 0,5772□ 1§(п/6) = (ф2 +ф2)-1/2 □ 0,5773□ п/2е□ 0,5778 (31) arctg(e) □ 1,218 □ arctg(ф) + агС^(^ф) □ 1,219 (32)

п□ 3,1416□ е + ф3 /10□ 3,1418□ е + ф-ф-С□ 3,1411 □ 4^/ф п 3,144 (33)

л/Пе□ 2,922□ (ф + ф)4/3 □ 2,924, 1ип□ 1,144□ ф4 +ф-ф□ 1,145 (34)

О □ 0,9159 □ 4(ф^л/ф)/2 □ 0,9154□ (ф + ф)2С/п□ 0,918 (35)

Существенно более точные соотношения (с точностью более 10 14) были получены при компьютерном переборе даже «простых» типов аппроксимирующих выражений. Так, для дробно-линейной аппроксимации ФМК функциями типа (и ф + т ф) / (к ф + Б ф),

(где И,т,к,Б - целые числа, изменяющиеся в цикле обычно от -1000 до +1000) были получены соотношения, верные с точностью более 11-12 знаков после запятой, напр.,:

П □ (809-ф +130 ф) / (-80-ф + 925 ф) (36)

е □ (92 ^ф + 295 ^ф)/(340 ф-693 ф) (37)

п □ (660 е + 235 л/е) / (-214 е + 774 Те) (38)

С □ (635 е - 660 >/е)/ (389 е + 29 Те) (39)

О □ (732 е + 899 е)/(888 е + 835 Те) (40)

В заключение укажем, что вопрос о числе ФМК остаётся открытым. В систему ФМК, естественно, в первую очередь должны входить константы П,е,1, ф (ф). Другие МК можно

включать в систему ФМК по мере расширения круга расматриваемых математических задач. При этом МК можно объединить в систему МК именно благодаря установлению точных соотношений между ними.